Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4081 / 4273
↖ ↑ ↗
← N 78.799846°
W135.164795°		 ← 237.28 m → N 78.799846°
W135.153809°		 →
↑
237.32 m
↓
↑
237.32 m
↓
N 78.797712°
W135.164795°		 ← 237.32 m →
56 315 m²		 N 78.797712°
W135.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124557495117188 y=0.130416870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124557495117188 × 215)
    floor (0.124557495117188 × 32768)
    floor (4081.5)     		tx = 4081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130416870117188 × 215)
    floor (0.130416870117188 × 32768)
    floor (4273.5)     		ty = 4273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4081 / 4273 ti = "15/4081/4273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4081/4273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4081 ÷ 215
    4081 ÷ 32768     		x = 0.124542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4273 ÷ 215
    4273 ÷ 32768     		y = 0.130401611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.75091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35907070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130401611328125 × 2 - 1) × π
    0.73919677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.322255165194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35907070} λ = -2.35907070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.322255165194))-π/2
    2×atan(10.1986480276259)-π/2
    2×1.47305654672207-π/2
    2.94611309344413-1.57079632675     		φ = 1.37531677
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35907070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37531677 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.799846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4081 KachelY 4273 -2.35907070 1.37531677 -135.164795 78.799846
    Oben rechts KachelX + 1 4082 KachelY 4273 -2.35887896 1.37531677 -135.153809 78.799846
    Unten links KachelX 4081 KachelY + 1 4274 -2.35907070 1.37527952 -135.164795 78.797712
    Unten rechts KachelX + 1 4082 KachelY + 1 4274 -2.35887896 1.37527952 -135.153809 78.797712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37531677-1.37527952) × R
    3.72499999998777e-05 × 6371000     		dl = 237.319749999221m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37531677-1.37527952) × R
    3.72499999998777e-05 × 6371000     		dr = 237.319749999221m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35907070--2.35887896) × cos(1.37531677) × R
    0.000191739999999996 × 0.194236980739737 × 6371000     		do = 237.275144635109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35907070--2.35887896) × cos(1.37527952) × R
    0.000191739999999996 × 0.194273521165113 × 6371000     		du = 237.319781524969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37531677)-sin(1.37527952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194236980739737-0.194273521165113)×R²
    abs(-2.35887896--2.35907070)×3.65404253755142e-05×R²
    0.000191739999999996×3.65404253755142e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.65404253755142e-05×40589641000000     		ar = 56315.3746203509m²