Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4081 / 3906
↖ ↑ ↗
← N 79.556564°
W135.164795°		 ← 221.43 m → N 79.556564°
W135.153809°		 →
↑
221.46 m
↓
↑
221.46 m
↓
N 79.554573°
W135.164795°		 ← 221.47 m →
49 041 m²		 N 79.554573°
W135.153809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124557495117188 y=0.119216918945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124557495117188 × 215)
    floor (0.124557495117188 × 32768)
    floor (4081.5)     		tx = 4081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119216918945312 × 215)
    floor (0.119216918945312 × 32768)
    floor (3906.5)     		ty = 3906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4081 / 3906 ti = "15/4081/3906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4081/3906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4081 ÷ 215
    4081 ÷ 32768     		x = 0.124542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3906 ÷ 215
    3906 ÷ 32768     		y = 0.11920166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124542236328125 × 2 - 1) × π
    -0.75091552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35907070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11920166015625 × 2 - 1) × π
    0.7615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39262653383624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35907070} λ = -2.35907070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39262653383624))-π/2
    2×atan(10.9421962814859)-π/2
    2×1.4796601563605-π/2
    2.95932031272101-1.57079632675     		φ = 1.38852399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35907070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.164795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38852399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.556564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4081 KachelY 3906 -2.35907070 1.38852399 -135.164795 79.556564
    Oben rechts KachelX + 1 4082 KachelY 3906 -2.35887896 1.38852399 -135.153809 79.556564
    Unten links KachelX 4081 KachelY + 1 3907 -2.35907070 1.38848923 -135.164795 79.554573
    Unten rechts KachelX + 1 4082 KachelY + 1 3907 -2.35887896 1.38848923 -135.153809 79.554573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38852399-1.38848923) × R
    3.47599999999115e-05 × 6371000     		dl = 221.455959999436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38852399-1.38848923) × R
    3.47599999999115e-05 × 6371000     		dr = 221.455959999436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35907070--2.35887896) × cos(1.38852399) × R
    0.000191739999999996 × 0.181264733514727 × 6371000     		do = 221.428564726204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35907070--2.35887896) × cos(1.38848923) × R
    0.000191739999999996 × 0.181298917582788 × 6371000     		du = 221.470323147604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38852399)-sin(1.38848923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181264733514727-0.181298917582788)×R²
    abs(-2.35887896--2.35907070)×3.41840680609939e-05×R²
    0.000191739999999996×3.41840680609939e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.41840680609939e-05×40589641000000     		ar = 49041.2992032012m²