Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40808 / 10156
↖ ↑ ↗
← N 76.945452°
E 44.165039°		 ← 137.96 m → N 76.945452°
E 44.170532°		 →
↑
138 m
↓
↑
138 m
↓
N 76.944211°
E 44.165039°		 ← 137.98 m →
19 039 m²		 N 76.944211°
E 44.170532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622688293457031 y=0.154975891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622688293457031 × 216)
    floor (0.622688293457031 × 65536)
    floor (40808.5)     		tx = 40808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154975891113281 × 216)
    floor (0.154975891113281 × 65536)
    floor (10156.5)     		ty = 10156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40808 / 10156 ti = "16/40808/10156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40808/10156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40808 ÷ 216
    40808 ÷ 65536     		x = 0.6226806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10156 ÷ 216
    10156 ÷ 65536     		y = 0.15496826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6226806640625 × 2 - 1) × π
    0.245361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77082535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15496826171875 × 2 - 1) × π
    0.6900634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16789834841742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77082535} λ = 0.77082535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16789834841742))-π/2
    2×atan(8.73989650808752)-π/2
    2×1.45687390842241-π/2
    2.91374781684482-1.57079632675     		φ = 1.34295149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77082535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.165039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34295149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.945452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40808 KachelY 10156 0.77082535 1.34295149 44.165039 76.945452
    Oben rechts KachelX + 1 40809 KachelY 10156 0.77092122 1.34295149 44.170532 76.945452
    Unten links KachelX 40808 KachelY + 1 10157 0.77082535 1.34292983 44.165039 76.944211
    Unten rechts KachelX + 1 40809 KachelY + 1 10157 0.77092122 1.34292983 44.170532 76.944211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34295149-1.34292983) × R
    2.16599999998124e-05 × 6371000     		dl = 137.995859998805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34295149-1.34292983) × R
    2.16599999998124e-05 × 6371000     		dr = 137.995859998805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77082535-0.77092122) × cos(1.34295149) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225878585724412 × 6371000     		do = 137.963877665365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77082535-0.77092122) × cos(1.34292983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.225899685878735 × 6371000     		du = 137.97676538157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34295149)-sin(1.34292983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225878585724412-0.225899685878735)×R²
    abs(0.77092122-0.77082535)×2.11001543230505e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.11001543230505e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.11001543230505e-05×40589641000000     		ar = 19039.3331738449m²