Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40807 / 9932
↖ ↑ ↗
← N 77.220501°
E 44.159546°		 ← 135.12 m → N 77.220501°
E 44.165039°		 →
↑
135.13 m
↓
↑
135.13 m
↓
N 77.219286°
E 44.159546°		 ← 135.13 m →
18 259 m²		 N 77.219286°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622673034667969 y=0.151557922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622673034667969 × 216)
    floor (0.622673034667969 × 65536)
    floor (40807.5)     		tx = 40807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151557922363281 × 216)
    floor (0.151557922363281 × 65536)
    floor (9932.5)     		ty = 9932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40807 / 9932 ti = "16/40807/9932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40807/9932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40807 ÷ 216
    40807 ÷ 65536     		x = 0.622665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9932 ÷ 216
    9932 ÷ 65536     		y = 0.15155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622665405273438 × 2 - 1) × π
    0.245330810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77072947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15155029296875 × 2 - 1) × π
    0.6968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1893740794472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77072947} λ = 0.77072947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1893740794472))-π/2
    2×atan(8.92962213110496)-π/2
    2×1.45927415793911-π/2
    2.91854831587821-1.57079632675     		φ = 1.34775199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77072947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.159546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34775199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.220501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40807 KachelY 9932 0.77072947 1.34775199 44.159546 77.220501
    Oben rechts KachelX + 1 40808 KachelY 9932 0.77082535 1.34775199 44.165039 77.220501
    Unten links KachelX 40807 KachelY + 1 9933 0.77072947 1.34773078 44.159546 77.219286
    Unten rechts KachelX + 1 40808 KachelY + 1 9933 0.77082535 1.34773078 44.165039 77.219286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34775199-1.34773078) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dl = 135.128909999253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34775199-1.34773078) × R
    2.12099999998827e-05 × 6371000     		dr = 135.128909999253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77072947-0.77082535) × cos(1.34775199) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.221199567730956 × 6371000     		do = 135.120083323726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77072947-0.77082535) × cos(1.34773078) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.221220252279033 × 6371000     		du = 135.132718510532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34775199)-sin(1.34773078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221199567730956-0.221220252279033)×R²
    abs(0.77082535-0.77072947)×2.06845480771323e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.06845480771323e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.06845480771323e-05×40589641000000     		ar = 18259.4832685964m²