Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40807 / 8545
↖ ↑ ↗
← N 78.800913°
E 44.159546°		 ← 118.64 m → N 78.800913°
E 44.165039°		 →
↑
118.63 m
↓
↑
118.63 m
↓
N 78.799846°
E 44.159546°		 ← 118.65 m →
14 075 m²		 N 78.799846°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622673034667969 y=0.130393981933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622673034667969 × 216)
    floor (0.622673034667969 × 65536)
    floor (40807.5)     		tx = 40807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130393981933594 × 216)
    floor (0.130393981933594 × 65536)
    floor (8545.5)     		ty = 8545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40807 / 8545 ti = "16/40807/8545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40807/8545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40807 ÷ 216
    40807 ÷ 65536     		x = 0.622665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8545 ÷ 216
    8545 ÷ 65536     		y = 0.130386352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622665405273438 × 2 - 1) × π
    0.245330810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77072947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130386352539062 × 2 - 1) × π
    0.739227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32235103899324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77072947} λ = 0.77072947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32235103899324))-π/2
    2×atan(10.1996258576328)-π/2
    2×1.47306585740304-π/2
    2.94613171480608-1.57079632675     		φ = 1.37533539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77072947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.159546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37533539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.800913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40807 KachelY 8545 0.77072947 1.37533539 44.159546 78.800913
    Oben rechts KachelX + 1 40808 KachelY 8545 0.77082535 1.37533539 44.165039 78.800913
    Unten links KachelX 40807 KachelY + 1 8546 0.77072947 1.37531677 44.159546 78.799846
    Unten rechts KachelX + 1 40808 KachelY + 1 8546 0.77082535 1.37531677 44.165039 78.799846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37533539-1.37531677) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dl = 118.628020000511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37533539-1.37531677) × R
    1.86200000000802e-05 × 6371000     		dr = 118.628020000511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77072947-0.77082535) × cos(1.37533539) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194218715330769 × 6371000     		do = 118.638789703421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77072947-0.77082535) × cos(1.37531677) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.194236980739737 × 6371000     		du = 118.649947155522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37533539)-sin(1.37531677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194218715330769-0.194236980739737)×R²
    abs(0.77082535-0.77072947)×1.82654089682932e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.82654089682932e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.82654089682932e-05×40589641000000     		ar = 14074.5465110594m²