Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40807 / 57475
↖ ↑ ↗
← S 79.305698°
E 44.159546°		 ← 113.36 m → S 79.305698°
E 44.165039°		 →
↑
113.34 m
↓
↑
113.34 m
↓
S 79.306718°
E 44.159546°		 ← 113.34 m →
12 847 m²		 S 79.306718°
E 44.165039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622673034667969 y=0.877006530761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622673034667969 × 216)
    floor (0.622673034667969 × 65536)
    floor (40807.5)     		tx = 40807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877006530761719 × 216)
    floor (0.877006530761719 × 65536)
    floor (57475.5)     		ty = 57475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40807 / 57475 ti = "16/40807/57475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40807/57475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40807 ÷ 216
    40807 ÷ 65536     		x = 0.622665405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57475 ÷ 216
    57475 ÷ 65536     		y = 0.876998901367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622665405273438 × 2 - 1) × π
    0.245330810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77072947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876998901367188 × 2 - 1) × π
    -0.753997802734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.36875395782545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77072947} λ = 0.77072947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36875395782545))-π/2
    2×atan(0.0935972798057333)-π/2
    2×0.0933253893896543-π/2
    0.186650778779309-1.57079632675     		φ = -1.38414555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77072947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.159546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38414555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.305698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40807 KachelY 57475 0.77072947 -1.38414555 44.159546 -79.305698
    Oben rechts KachelX + 1 40808 KachelY 57475 0.77082535 -1.38414555 44.165039 -79.305698
    Unten links KachelX 40807 KachelY + 1 57476 0.77072947 -1.38416334 44.159546 -79.306718
    Unten rechts KachelX + 1 40808 KachelY + 1 57476 0.77082535 -1.38416334 44.165039 -79.306718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38414555--1.38416334) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dl = 113.340090000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38414555--1.38416334) × R
    1.77900000000175e-05 × 6371000     		dr = 113.340090000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77072947-0.77082535) × cos(-1.38414555) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185568890511509 × 6371000     		do = 113.355031410839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77072947-0.77082535) × cos(-1.38416334) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.185551409472086 × 6371000     		du = 113.344353092035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38414555)-sin(-1.38416334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185568890511509-0.185551409472086)×R²
    abs(0.77082535-0.77072947)×1.74810394226732e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74810394226732e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74810394226732e-05×40589641000000     		ar = 12847.0643219013m²