Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40806 / 57530
↖ ↑ ↗
← S 79.361618°
E 44.154053°		 ← 112.76 m → S 79.361618°
E 44.159546°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 79.362632°
E 44.154053°		 ← 112.75 m →
12 715 m²		 S 79.362632°
E 44.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622657775878906 y=0.877845764160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622657775878906 × 216)
    floor (0.622657775878906 × 65536)
    floor (40806.5)     		tx = 40806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877845764160156 × 216)
    floor (0.877845764160156 × 65536)
    floor (57530.5)     		ty = 57530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40806 / 57530 ti = "16/40806/57530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40806/57530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40806 ÷ 216
    40806 ÷ 65536     		x = 0.622650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57530 ÷ 216
    57530 ÷ 65536     		y = 0.877838134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622650146484375 × 2 - 1) × π
    0.24530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77063360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877838134765625 × 2 - 1) × π
    -0.75567626953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37402701678366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77063360} λ = 0.77063360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37402701678366))-π/2
    2×atan(0.0931050347900631)-π/2
    2×0.0928373969635168-π/2
    0.185674793927034-1.57079632675     		φ = -1.38512153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77063360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.154053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38512153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.361618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40806 KachelY 57530 0.77063360 -1.38512153 44.154053 -79.361618
    Oben rechts KachelX + 1 40807 KachelY 57530 0.77072947 -1.38512153 44.159546 -79.361618
    Unten links KachelX 40806 KachelY + 1 57531 0.77063360 -1.38513923 44.154053 -79.362632
    Unten rechts KachelX + 1 40807 KachelY + 1 57531 0.77072947 -1.38513923 44.159546 -79.362632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38512153--1.38513923) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dl = 112.766700000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38512153--1.38513923) × R
    1.77000000001204e-05 × 6371000     		dr = 112.766700000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77063360-0.77072947) × cos(-1.38512153) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184609773829125 × 6371000     		do = 112.757392077293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77063360-0.77072947) × cos(-1.38513923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184592378029572 × 6371000     		du = 112.746766935677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38512153)-sin(-1.38513923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184609773829125-0.184592378029572)×R²
    abs(0.77072947-0.77063360)×1.73957995530383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73957995530383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73957995530383e-05×40589641000000     		ar = 12714.6799242683m²