Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40805 / 9819
↖ ↑ ↗
← N 77.357083°
E 44.148559°		 ← 133.70 m → N 77.357083°
E 44.154053°		 →
↑
133.73 m
↓
↑
133.73 m
↓
N 77.355880°
E 44.148559°		 ← 133.71 m →
17 880 m²		 N 77.355880°
E 44.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622642517089844 y=0.149833679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622642517089844 × 216)
    floor (0.622642517089844 × 65536)
    floor (40805.5)     		tx = 40805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149833679199219 × 216)
    floor (0.149833679199219 × 65536)
    floor (9819.5)     		ty = 9819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40805 / 9819 ti = "16/40805/9819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40805/9819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40805 ÷ 216
    40805 ÷ 65536     		x = 0.622634887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9819 ÷ 216
    9819 ÷ 65536     		y = 0.149826049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622634887695312 × 2 - 1) × π
    0.245269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77053772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149826049804688 × 2 - 1) × π
    0.700347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20020781876134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77053772} λ = 0.77053772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20020781876134))-π/2
    2×atan(9.02688926146315)-π/2
    2×1.46046605850893-π/2
    2.92093211701785-1.57079632675     		φ = 1.35013579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77053772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.148559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35013579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.357083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40805 KachelY 9819 0.77053772 1.35013579 44.148559 77.357083
    Oben rechts KachelX + 1 40806 KachelY 9819 0.77063360 1.35013579 44.154053 77.357083
    Unten links KachelX 40805 KachelY + 1 9820 0.77053772 1.35011480 44.148559 77.355880
    Unten rechts KachelX + 1 40806 KachelY + 1 9820 0.77063360 1.35011480 44.154053 77.355880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35013579-1.35011480) × R
    2.09899999998875e-05 × 6371000     		dl = 133.727289999283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35013579-1.35011480) × R
    2.09899999998875e-05 × 6371000     		dr = 133.727289999283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77053772-0.77063360) × cos(1.35013579) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.218874191599566 × 6371000     		do = 133.699623872465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77053772-0.77063360) × cos(1.35011480) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21889467260866 × 6371000     		du = 133.712134727183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35013579)-sin(1.35011480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218874191599566-0.21889467260866)×R²
    abs(0.77063360-0.77053772)×2.04810090944085e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.04810090944085e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.04810090944085e-05×40589641000000     		ar = 17880.1248961623m²