Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40805 / 57523
↖ ↑ ↗
← S 79.354517°
E 44.148559°		 ← 112.84 m → S 79.354517°
E 44.154053°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 79.355532°
E 44.148559°		 ← 112.83 m →
12 732 m²		 S 79.355532°
E 44.154053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622642517089844 y=0.877738952636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622642517089844 × 216)
    floor (0.622642517089844 × 65536)
    floor (40805.5)     		tx = 40805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877738952636719 × 216)
    floor (0.877738952636719 × 65536)
    floor (57523.5)     		ty = 57523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40805 / 57523 ti = "16/40805/57523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40805/57523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40805 ÷ 216
    40805 ÷ 65536     		x = 0.622634887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57523 ÷ 216
    57523 ÷ 65536     		y = 0.877731323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622634887695312 × 2 - 1) × π
    0.245269775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77053772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877731323242188 × 2 - 1) × π
    -0.755462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37335590018898
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77053772} λ = 0.77053772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37335590018898))-π/2
    2×atan(0.093167540095787)-π/2
    2×0.0928993647379393-π/2
    0.185798729475879-1.57079632675     		φ = -1.38499760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77053772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.148559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38499760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.354517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40805 KachelY 57523 0.77053772 -1.38499760 44.148559 -79.354517
    Oben rechts KachelX + 1 40806 KachelY 57523 0.77063360 -1.38499760 44.154053 -79.354517
    Unten links KachelX 40805 KachelY + 1 57524 0.77053772 -1.38501531 44.148559 -79.355532
    Unten rechts KachelX + 1 40806 KachelY + 1 57524 0.77063360 -1.38501531 44.154053 -79.355532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38499760--1.38501531) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38499760--1.38501531) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77053772-0.77063360) × cos(-1.38499760) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184731572289942 × 6371000     		do = 112.843554336095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77053772-0.77063360) × cos(-1.38501531) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184714167067534 × 6371000     		du = 112.832922330227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38499760)-sin(-1.38501531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184731572289942-0.184714167067534)×R²
    abs(0.77063360-0.77053772)×1.74052224085064e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74052224085064e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74052224085064e-05×40589641000000     		ar = 12731.5846949893m²