Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40804 / 57516
↖ ↑ ↗
← S 79.347411°
E 44.143066°		 ← 112.91 m → S 79.347411°
E 44.148559°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 79.348427°
E 44.143066°		 ← 112.90 m →
12 746 m²		 S 79.348427°
E 44.148559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622627258300781 y=0.877632141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622627258300781 × 216)
    floor (0.622627258300781 × 65536)
    floor (40804.5)     		tx = 40804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877632141113281 × 216)
    floor (0.877632141113281 × 65536)
    floor (57516.5)     		ty = 57516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40804 / 57516 ti = "16/40804/57516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40804/57516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40804 ÷ 216
    40804 ÷ 65536     		x = 0.62261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57516 ÷ 216
    57516 ÷ 65536     		y = 0.87762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62261962890625 × 2 - 1) × π
    0.2452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77044185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.7552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3726847835943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77044185} λ = 0.77044185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3726847835943))-π/2
    2×atan(0.0932300873639381)-π/2
    2×0.0929613733976816-π/2
    0.185922746795363-1.57079632675     		φ = -1.38487358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77044185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.143066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38487358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.347411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40804 KachelY 57516 0.77044185 -1.38487358 44.143066 -79.347411
    Oben rechts KachelX + 1 40805 KachelY 57516 0.77053772 -1.38487358 44.148559 -79.347411
    Unten links KachelX 40804 KachelY + 1 57517 0.77044185 -1.38489130 44.143066 -79.348427
    Unten rechts KachelX + 1 40805 KachelY + 1 57517 0.77053772 -1.38489130 44.148559 -79.348427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38487358--1.38489130) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38487358--1.38489130) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77044185-0.77053772) × cos(-1.38487358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184853456362481 × 6371000     		do = 112.90623038843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77044185-0.77053772) × cos(-1.38489130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184836041718237 × 6371000     		du = 112.895593736707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38487358)-sin(-1.38489130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184853456362481-0.184836041718237)×R²
    abs(0.77053772-0.77044185)×1.74146442440681e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74146442440681e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74146442440681e-05×40589641000000     		ar = 12745.8491147774m²