Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40803 / 57517
↖ ↑ ↗
← S 79.348427°
E 44.137573°		 ← 112.90 m → S 79.348427°
E 44.143066°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 79.349442°
E 44.137573°		 ← 112.88 m →
12 745 m²		 S 79.349442°
E 44.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622611999511719 y=0.877647399902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622611999511719 × 216)
    floor (0.622611999511719 × 65536)
    floor (40803.5)     		tx = 40803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877647399902344 × 216)
    floor (0.877647399902344 × 65536)
    floor (57517.5)     		ty = 57517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40803 / 57517 ti = "16/40803/57517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40803/57517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40803 ÷ 216
    40803 ÷ 65536     		x = 0.622604370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57517 ÷ 216
    57517 ÷ 65536     		y = 0.877639770507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622604370117188 × 2 - 1) × π
    0.245208740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77034598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877639770507812 × 2 - 1) × π
    -0.755279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37278065739354
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77034598} λ = 0.77034598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37278065739354))-π/2
    2×atan(0.0932211494697208)-π/2
    2×0.0929525125135495-π/2
    0.185905025027099-1.57079632675     		φ = -1.38489130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77034598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.137573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38489130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.348427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40803 KachelY 57517 0.77034598 -1.38489130 44.137573 -79.348427
    Oben rechts KachelX + 1 40804 KachelY 57517 0.77044185 -1.38489130 44.143066 -79.348427
    Unten links KachelX 40803 KachelY + 1 57518 0.77034598 -1.38490902 44.137573 -79.349442
    Unten rechts KachelX + 1 40804 KachelY + 1 57518 0.77044185 -1.38490902 44.143066 -79.349442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38489130--1.38490902) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38489130--1.38490902) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77034598-0.77044185) × cos(-1.38489130) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184836041718237 × 6371000     		do = 112.895593736707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77034598-0.77044185) × cos(-1.38490902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184818627015955 × 6371000     		du = 112.884957049534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38489130)-sin(-1.38490902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184836041718237-0.184818627015955)×R²
    abs(0.77044185-0.77034598)×1.7414702282309e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7414702282309e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7414702282309e-05×40589641000000     		ar = 12744.6482972089m²