Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40803 / 57515
↖ ↑ ↗
← S 79.346396°
E 44.137573°		 ← 112.92 m → S 79.346396°
E 44.143066°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 79.347411°
E 44.137573°		 ← 112.91 m →
12 747 m²		 S 79.347411°
E 44.143066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622611999511719 y=0.877616882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622611999511719 × 216)
    floor (0.622611999511719 × 65536)
    floor (40803.5)     		tx = 40803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877616882324219 × 216)
    floor (0.877616882324219 × 65536)
    floor (57515.5)     		ty = 57515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40803 / 57515 ti = "16/40803/57515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40803/57515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40803 ÷ 216
    40803 ÷ 65536     		x = 0.622604370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57515 ÷ 216
    57515 ÷ 65536     		y = 0.877609252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622604370117188 × 2 - 1) × π
    0.245208740234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77034598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877609252929688 × 2 - 1) × π
    -0.755218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37258890979506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77034598} λ = 0.77034598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37258890979506))-π/2
    2×atan(0.0932390261151063)-π/2
    2×0.092970235116739-π/2
    0.185940470233478-1.57079632675     		φ = -1.38485586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77034598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.137573°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38485586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.346396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40803 KachelY 57515 0.77034598 -1.38485586 44.137573 -79.346396
    Oben rechts KachelX + 1 40804 KachelY 57515 0.77044185 -1.38485586 44.143066 -79.346396
    Unten links KachelX 40803 KachelY + 1 57516 0.77034598 -1.38487358 44.137573 -79.347411
    Unten rechts KachelX + 1 40804 KachelY + 1 57516 0.77044185 -1.38487358 44.143066 -79.347411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38485586--1.38487358) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38485586--1.38487358) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77034598-0.77044185) × cos(-1.38485586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184870870948682 × 6371000     		do = 112.916867004701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77034598-0.77044185) × cos(-1.38487358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184853456362481 × 6371000     		du = 112.90623038843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38485586)-sin(-1.38487358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184870870948682-0.184853456362481)×R²
    abs(0.77044185-0.77034598)×1.74145862003594e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74145862003594e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74145862003594e-05×40589641000000     		ar = 12747.0499284577m²