Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40802 / 57512
↖ ↑ ↗
← S 79.343349°
E 44.132080°		 ← 112.96 m → S 79.343349°
E 44.137573°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 79.344364°
E 44.132080°		 ← 112.95 m →
12 752 m²		 S 79.344364°
E 44.137573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622596740722656 y=0.877571105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622596740722656 × 216)
    floor (0.622596740722656 × 65536)
    floor (40802.5)     		tx = 40802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877571105957031 × 216)
    floor (0.877571105957031 × 65536)
    floor (57512.5)     		ty = 57512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40802 / 57512 ti = "16/40802/57512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40802/57512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40802 ÷ 216
    40802 ÷ 65536     		x = 0.622589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57512 ÷ 216
    57512 ÷ 65536     		y = 0.8775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622589111328125 × 2 - 1) × π
    0.24517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77025010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37230128839734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77025010} λ = 0.77025010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37230128839734))-π/2
    2×atan(0.0932658475111384)-π/2
    2×0.0929968252842218-π/2
    0.185993650568444-1.57079632675     		φ = -1.38480268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77025010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38480268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.343349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40802 KachelY 57512 0.77025010 -1.38480268 44.132080 -79.343349
    Oben rechts KachelX + 1 40803 KachelY 57512 0.77034598 -1.38480268 44.137573 -79.343349
    Unten links KachelX 40802 KachelY + 1 57513 0.77025010 -1.38482040 44.132080 -79.344364
    Unten rechts KachelX + 1 40803 KachelY + 1 57513 0.77034598 -1.38482040 44.137573 -79.344364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38480268--1.38482040) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38480268--1.38482040) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77025010-0.77034598) × cos(-1.38480268) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.184923134014026 × 6371000     		do = 112.960570098632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77025010-0.77034598) × cos(-1.38482040) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.184905719602055 × 6371000     		du = 112.949932479306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38480268)-sin(-1.38482040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184923134014026-0.184905719602055)×R²
    abs(0.77034598-0.77025010)×1.74144119709785e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74144119709785e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74144119709785e-05×40589641000000     		ar = 12751.9836938207m²