Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40802 / 10003
↖ ↑ ↗
← N 77.133943°
E 44.132080°		 ← 136.02 m → N 77.133943°
E 44.137573°		 →
↑
136.02 m
↓
↑
136.02 m
↓
N 77.132720°
E 44.132080°		 ← 136.03 m →
18 502 m²		 N 77.132720°
E 44.137573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622596740722656 y=0.152641296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622596740722656 × 216)
    floor (0.622596740722656 × 65536)
    floor (40802.5)     		tx = 40802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152641296386719 × 216)
    floor (0.152641296386719 × 65536)
    floor (10003.5)     		ty = 10003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40802 / 10003 ti = "16/40802/10003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40802/10003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40802 ÷ 216
    40802 ÷ 65536     		x = 0.622589111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10003 ÷ 216
    10003 ÷ 65536     		y = 0.152633666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622589111328125 × 2 - 1) × π
    0.24517822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77025010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152633666992188 × 2 - 1) × π
    0.694732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18256703970116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77025010} λ = 0.77025010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18256703970116))-π/2
    2×atan(8.86904425027276)-π/2
    2×1.45851879666873-π/2
    2.91703759333746-1.57079632675     		φ = 1.34624127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77025010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.132080°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34624127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.133943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40802 KachelY 10003 0.77025010 1.34624127 44.132080 77.133943
    Oben rechts KachelX + 1 40803 KachelY 10003 0.77034598 1.34624127 44.137573 77.133943
    Unten links KachelX 40802 KachelY + 1 10004 0.77025010 1.34621992 44.132080 77.132720
    Unten rechts KachelX + 1 40803 KachelY + 1 10004 0.77034598 1.34621992 44.137573 77.132720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34624127-1.34621992) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dl = 136.020849999491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34624127-1.34621992) × R
    2.134999999992e-05 × 6371000     		dr = 136.020849999491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77025010-0.77034598) × cos(1.34624127) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.222672612047062 × 6371000     		do = 136.019894624324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77025010-0.77034598) × cos(1.34621992) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.222693425967843 × 6371000     		du = 136.032608838638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34624127)-sin(1.34621992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222672612047062-0.222693425967843)×R²
    abs(0.77034598-0.77025010)×2.0813920781737e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.0813920781737e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.0813920781737e-05×40589641000000     		ar = 18502.4063837841m²