Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40801 / 9997
↖ ↑ ↗
← N 77.141280°
E 44.126587°		 ← 135.93 m → N 77.141280°
E 44.132080°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
N 77.140057°
E 44.126587°		 ← 135.94 m →
18 481 m²		 N 77.140057°
E 44.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622581481933594 y=0.152549743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622581481933594 × 216)
    floor (0.622581481933594 × 65536)
    floor (40801.5)     		tx = 40801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152549743652344 × 216)
    floor (0.152549743652344 × 65536)
    floor (9997.5)     		ty = 9997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40801 / 9997 ti = "16/40801/9997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40801/9997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40801 ÷ 216
    40801 ÷ 65536     		x = 0.622573852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9997 ÷ 216
    9997 ÷ 65536     		y = 0.152542114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622573852539062 × 2 - 1) × π
    0.245147705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77015423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152542114257812 × 2 - 1) × π
    0.694915771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1831422824966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77015423} λ = 0.77015423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1831422824966))-π/2
    2×atan(8.87414757176391)-π/2
    2×1.45858282412245-π/2
    2.9171656482449-1.57079632675     		φ = 1.34636932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77015423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.126587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34636932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.141280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40801 KachelY 9997 0.77015423 1.34636932 44.126587 77.141280
    Oben rechts KachelX + 1 40802 KachelY 9997 0.77025010 1.34636932 44.132080 77.141280
    Unten links KachelX 40801 KachelY + 1 9998 0.77015423 1.34634798 44.126587 77.140057
    Unten rechts KachelX + 1 40802 KachelY + 1 9998 0.77025010 1.34634798 44.132080 77.140057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34636932-1.34634798) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34636932-1.34634798) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77015423-0.77025010) × cos(1.34636932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222547775137309 × 6371000     		do = 135.929459294576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77015423-0.77025010) × cos(1.34634798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222568579917536 × 6371000     		du = 135.942166599896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34636932)-sin(1.34634798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222547775137309-0.222568579917536)×R²
    abs(0.77025010-0.77015423)×2.08047802266464e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08047802266464e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08047802266464e-05×40589641000000     		ar = 18481.4443526369m²