Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40799 / 9829
↖ ↑ ↗
← N 77.345054°
E 44.115600°		 ← 133.82 m → N 77.345054°
E 44.121094°		 →
↑
133.85 m
↓
↑
133.85 m
↓
N 77.343850°
E 44.115600°		 ← 133.84 m →
17 914 m²		 N 77.343850°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622550964355469 y=0.149986267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622550964355469 × 216)
    floor (0.622550964355469 × 65536)
    floor (40799.5)     		tx = 40799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149986267089844 × 216)
    floor (0.149986267089844 × 65536)
    floor (9829.5)     		ty = 9829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40799 / 9829 ti = "16/40799/9829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40799/9829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40799 ÷ 216
    40799 ÷ 65536     		x = 0.622543334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9829 ÷ 216
    9829 ÷ 65536     		y = 0.149978637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622543334960938 × 2 - 1) × π
    0.245086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76996248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149978637695312 × 2 - 1) × π
    0.700042724609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19924908076894
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76996248} λ = 0.76996248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19924908076894))-π/2
    2×atan(9.01823898711091)-π/2
    2×1.46036108791638-π/2
    2.92072217583277-1.57079632675     		φ = 1.34992585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76996248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.115600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34992585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.345054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40799 KachelY 9829 0.76996248 1.34992585 44.115600 77.345054
    Oben rechts KachelX + 1 40800 KachelY 9829 0.77005836 1.34992585 44.121094 77.345054
    Unten links KachelX 40799 KachelY + 1 9830 0.76996248 1.34990484 44.115600 77.343850
    Unten rechts KachelX + 1 40800 KachelY + 1 9830 0.77005836 1.34990484 44.121094 77.343850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34992585-1.34990484) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dl = 133.854709999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34992585-1.34990484) × R
    2.1009999999988e-05 × 6371000     		dr = 133.854709999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76996248-0.77005836) × cos(1.34992585) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219079036377884 × 6371000     		do = 133.824753608472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76996248-0.77005836) × cos(1.34990484) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.219099535936033 × 6371000     		du = 133.837275793906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34992585)-sin(1.34990484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219079036377884-0.219099535936033)×R²
    abs(0.77005836-0.76996248)×2.04995581484513e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.04995581484513e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.04995581484513e-05×40589641000000     		ar = 17913.911662508m²