Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40799 / 8531
↖ ↑ ↗
← N 78.815839°
E 44.115600°		 ← 118.48 m → N 78.815839°
E 44.121094°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
N 78.814774°
E 44.115600°		 ← 118.49 m →
14 033 m²		 N 78.814774°
E 44.121094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622550964355469 y=0.130180358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622550964355469 × 216)
    floor (0.622550964355469 × 65536)
    floor (40799.5)     		tx = 40799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130180358886719 × 216)
    floor (0.130180358886719 × 65536)
    floor (8531.5)     		ty = 8531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40799 / 8531 ti = "16/40799/8531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40799/8531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40799 ÷ 216
    40799 ÷ 65536     		x = 0.622543334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8531 ÷ 216
    8531 ÷ 65536     		y = 0.130172729492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622543334960938 × 2 - 1) × π
    0.245086669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76996248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130172729492188 × 2 - 1) × π
    0.739654541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.3236932721826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76996248} λ = 0.76996248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3236932721826))-π/2
    2×atan(10.2133253258617)-π/2
    2×1.47319611503345-π/2
    2.9463922300669-1.57079632675     		φ = 1.37559590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76996248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.115600°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37559590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.815839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40799 KachelY 8531 0.76996248 1.37559590 44.115600 78.815839
    Oben rechts KachelX + 1 40800 KachelY 8531 0.77005836 1.37559590 44.121094 78.815839
    Unten links KachelX 40799 KachelY + 1 8532 0.76996248 1.37557731 44.115600 78.814774
    Unten rechts KachelX + 1 40800 KachelY + 1 8532 0.77005836 1.37557731 44.121094 78.814774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37559590-1.37557731) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dl = 118.436890000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37559590-1.37557731) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dr = 118.436890000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76996248-0.77005836) × cos(1.37559590) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193963159309266 × 6371000     		do = 118.4826829296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76996248-0.77005836) × cos(1.37557731) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.193981396229599 × 6371000     		du = 118.493822979376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37559590)-sin(1.37557731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193963159309266-0.193981396229599)×R²
    abs(0.77005836-0.76996248)×1.82369203325927e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82369203325927e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82369203325927e-05×40589641000000     		ar = 14033.380181603m²