Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40798 / 9828
↖ ↑ ↗
← N 77.346257°
E 44.110108°		 ← 133.80 m → N 77.346257°
E 44.115600°		 →
↑
133.79 m
↓
↑
133.79 m
↓
N 77.345054°
E 44.110108°		 ← 133.81 m →
17 902 m²		 N 77.345054°
E 44.115600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622535705566406 y=0.149971008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622535705566406 × 216)
    floor (0.622535705566406 × 65536)
    floor (40798.5)     		tx = 40798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.149971008300781 × 216)
    floor (0.149971008300781 × 65536)
    floor (9828.5)     		ty = 9828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40798 / 9828 ti = "16/40798/9828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40798/9828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40798 ÷ 216
    40798 ÷ 65536     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9828 ÷ 216
    9828 ÷ 65536     		y = 0.14996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14996337890625 × 2 - 1) × π
    0.7000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19934495456818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19934495456818))-π/2
    2×atan(9.01910364139325)-π/2
    2×1.46037158939502-π/2
    2.92074317879003-1.57079632675     		φ = 1.34994685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34994685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.346257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40798 KachelY 9828 0.76986661 1.34994685 44.110108 77.346257
    Oben rechts KachelX + 1 40799 KachelY 9828 0.76996248 1.34994685 44.115600 77.346257
    Unten links KachelX 40798 KachelY + 1 9829 0.76986661 1.34992585 44.110108 77.345054
    Unten rechts KachelX + 1 40799 KachelY + 1 9829 0.76996248 1.34992585 44.115600 77.345054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34994685-1.34992585) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dl = 133.791000000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34994685-1.34992585) × R
    2.10000000000488e-05 × 6371000     		dr = 133.791000000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.76996248) × cos(1.34994685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219058546480147 × 6371000     		do = 133.798281104048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.76996248) × cos(1.34992585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.219079036377884 × 6371000     		du = 133.810796082994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34994685)-sin(1.34992585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219058546480147-0.219079036377884)×R²
    abs(0.76996248-0.76986661)×2.04898977372303e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04898977372303e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04898977372303e-05×40589641000000     		ar = 17901.8430239053m²