Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40798 / 8528
↖ ↑ ↗
← N 78.819035°
E 44.110108°		 ← 118.44 m → N 78.819035°
E 44.115600°		 →
↑
118.44 m
↓
↑
118.44 m
↓
N 78.817970°
E 44.110108°		 ← 118.45 m →
14 028 m²		 N 78.817970°
E 44.115600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622535705566406 y=0.130134582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622535705566406 × 216)
    floor (0.622535705566406 × 65536)
    floor (40798.5)     		tx = 40798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130134582519531 × 216)
    floor (0.130134582519531 × 65536)
    floor (8528.5)     		ty = 8528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40798 / 8528 ti = "16/40798/8528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40798/8528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40798 ÷ 216
    40798 ÷ 65536     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8528 ÷ 216
    8528 ÷ 65536     		y = 0.130126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130126953125 × 2 - 1) × π
    0.73974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32398089358032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32398089358032))-π/2
    2×atan(10.216263319262)-π/2
    2×1.47322400507556-π/2
    2.94644801015113-1.57079632675     		φ = 1.37565168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37565168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.819035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40798 KachelY 8528 0.76986661 1.37565168 44.110108 78.819035
    Oben rechts KachelX + 1 40799 KachelY 8528 0.76996248 1.37565168 44.115600 78.819035
    Unten links KachelX 40798 KachelY + 1 8529 0.76986661 1.37563309 44.110108 78.817970
    Unten rechts KachelX + 1 40799 KachelY + 1 8529 0.76996248 1.37563309 44.115600 78.817970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37565168-1.37563309) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dl = 118.436890000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37565168-1.37563309) × R
    1.85900000000405e-05 × 6371000     		dr = 118.436890000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.76996248) × cos(1.37565168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193908438335909 × 6371000     		do = 118.43690263537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.76996248) × cos(1.37563309) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193926675457353 × 6371000     		du = 118.448041646108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37565168)-sin(1.37563309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193908438335909-0.193926675457353)×R²
    abs(0.76996248-0.76986661)×1.82371214438037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82371214438037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82371214438037e-05×40589641000000     		ar = 14027.9580442926m²