Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40798 / 57547
↖ ↑ ↗
← S 79.378844°
E 44.110108°		 ← 112.58 m → S 79.378844°
E 44.115600°		 →
↑
112.58 m
↓
↑
112.58 m
↓
S 79.379856°
E 44.110108°		 ← 112.57 m →
12 673 m²		 S 79.379856°
E 44.115600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40798 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622535705566406 y=0.878105163574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622535705566406 × 216)
    floor (0.622535705566406 × 65536)
    floor (40798.5)     		tx = 40798
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878105163574219 × 216)
    floor (0.878105163574219 × 65536)
    floor (57547.5)     		ty = 57547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40798 / 57547 ti = "16/40798/57547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40798/57547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40798 ÷ 216
    40798 ÷ 65536     		x = 0.622528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57547 ÷ 216
    57547 ÷ 65536     		y = 0.878097534179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622528076171875 × 2 - 1) × π
    0.24505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76986661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878097534179688 × 2 - 1) × π
    -0.756195068359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37565687137074
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76986661} λ = 0.76986661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37565687137074))-π/2
    2×atan(0.0929534107181894)-π/2
    2×0.0926870738536975-π/2
    0.185374147707395-1.57079632675     		φ = -1.38542218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76986661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.110108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38542218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.378844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40798 KachelY 57547 0.76986661 -1.38542218 44.110108 -79.378844
    Oben rechts KachelX + 1 40799 KachelY 57547 0.76996248 -1.38542218 44.115600 -79.378844
    Unten links KachelX 40798 KachelY + 1 57548 0.76986661 -1.38543985 44.110108 -79.379856
    Unten rechts KachelX + 1 40799 KachelY + 1 57548 0.76996248 -1.38543985 44.115600 -79.379856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38542218--1.38543985) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dl = 112.575570000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38542218--1.38543985) × R
    1.76700000000807e-05 × 6371000     		dr = 112.575570000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76986661-0.76996248) × cos(-1.38542218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184314283092269 × 6371000     		do = 112.576909949073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76986661-0.76996248) × cos(-1.38543985) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184296915797265 × 6371000     		du = 112.566302217687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38542218)-sin(-1.38543985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184314283092269-0.184296915797265)×R²
    abs(0.76996248-0.76986661)×1.73672950037618e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73672950037618e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73672950037618e-05×40589641000000     		ar = 12672.8127209911m²