Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40797 / 8534
↖ ↑ ↗
← N 78.812643°
E 44.104614°		 ← 118.52 m → N 78.812643°
E 44.110108°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
N 78.811577°
E 44.104614°		 ← 118.53 m →
14 045 m²		 N 78.811577°
E 44.110108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622520446777344 y=0.130226135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622520446777344 × 216)
    floor (0.622520446777344 × 65536)
    floor (40797.5)     		tx = 40797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130226135253906 × 216)
    floor (0.130226135253906 × 65536)
    floor (8534.5)     		ty = 8534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40797 / 8534 ti = "16/40797/8534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40797/8534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40797 ÷ 216
    40797 ÷ 65536     		x = 0.622512817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8534 ÷ 216
    8534 ÷ 65536     		y = 0.130218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622512817382812 × 2 - 1) × π
    0.245025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76977073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130218505859375 × 2 - 1) × π
    0.73956298828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32340565078488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76977073} λ = 0.76977073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32340565078488))-π/2
    2×atan(10.2103881773698)-π/2
    2×1.47316821712079-π/2
    2.94633643424158-1.57079632675     		φ = 1.37554011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76977073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.104614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37554011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.812643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40797 KachelY 8534 0.76977073 1.37554011 44.104614 78.812643
    Oben rechts KachelX + 1 40798 KachelY 8534 0.76986661 1.37554011 44.110108 78.812643
    Unten links KachelX 40797 KachelY + 1 8535 0.76977073 1.37552151 44.104614 78.811577
    Unten rechts KachelX + 1 40798 KachelY + 1 8535 0.76986661 1.37552151 44.110108 78.811577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37554011-1.37552151) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37554011-1.37552151) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76977073-0.76986661) × cos(1.37554011) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194017889489104 × 6371000     		do = 118.516114940955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76977073-0.76986661) × cos(1.37552151) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.194036136018177 × 6371000     		du = 118.527260860244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37554011)-sin(1.37552151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194017889489104-0.194036136018177)×R²
    abs(0.76986661-0.76977073)×1.82465290723133e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.82465290723133e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.82465290723133e-05×40589641000000     		ar = 14044.8911296917m²