Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40797 / 57509
↖ ↑ ↗
← S 79.340301°
E 44.104614°		 ← 112.99 m → S 79.340301°
E 44.110108°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 79.341317°
E 44.104614°		 ← 112.98 m →
12 763 m²		 S 79.341317°
E 44.110108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40797 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622520446777344 y=0.877525329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622520446777344 × 216)
    floor (0.622520446777344 × 65536)
    floor (40797.5)     		tx = 40797
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877525329589844 × 216)
    floor (0.877525329589844 × 65536)
    floor (57509.5)     		ty = 57509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40797 / 57509 ti = "16/40797/57509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40797/57509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40797 ÷ 216
    40797 ÷ 65536     		x = 0.622512817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57509 ÷ 216
    57509 ÷ 65536     		y = 0.877517700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622512817382812 × 2 - 1) × π
    0.245025634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76977073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877517700195312 × 2 - 1) × π
    -0.755035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37201366699962
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76977073} λ = 0.76977073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37201366699962))-π/2
    2×atan(0.0932926766226875)-π/2
    2×0.0930234229687647-π/2
    0.186046845937529-1.57079632675     		φ = -1.38474948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76977073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.104614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38474948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.340301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40797 KachelY 57509 0.76977073 -1.38474948 44.104614 -79.340301
    Oben rechts KachelX + 1 40798 KachelY 57509 0.76986661 -1.38474948 44.110108 -79.340301
    Unten links KachelX 40797 KachelY + 1 57510 0.76977073 -1.38476721 44.104614 -79.341317
    Unten rechts KachelX + 1 40798 KachelY + 1 57510 0.76986661 -1.38476721 44.110108 -79.341317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38474948--1.38476721) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38474948--1.38476721) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76977073-0.76986661) × cos(-1.38474948) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18497541621125 × 6371000     		do = 112.992506756315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76977073-0.76986661) × cos(-1.38476721) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184957992146159 × 6371000     		du = 112.981863240366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38474948)-sin(-1.38476721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18497541621125-0.184957992146159)×R²
    abs(0.76986661-0.76977073)×1.74240650909485e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74240650909485e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74240650909485e-05×40589641000000     		ar = 12762.7872355073m²