Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40796 / 57512
↖ ↑ ↗
← S 79.343349°
E 44.099121°		 ← 112.95 m → S 79.343349°
E 44.104614°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 79.344364°
E 44.099121°		 ← 112.94 m →
12 751 m²		 S 79.344364°
E 44.104614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622505187988281 y=0.877571105957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622505187988281 × 216)
    floor (0.622505187988281 × 65536)
    floor (40796.5)     		tx = 40796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877571105957031 × 216)
    floor (0.877571105957031 × 65536)
    floor (57512.5)     		ty = 57512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40796 / 57512 ti = "16/40796/57512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40796/57512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40796 ÷ 216
    40796 ÷ 65536     		x = 0.62249755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57512 ÷ 216
    57512 ÷ 65536     		y = 0.8775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62249755859375 × 2 - 1) × π
    0.2449951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76967486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.755126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37230128839734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76967486} λ = 0.76967486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37230128839734))-π/2
    2×atan(0.0932658475111384)-π/2
    2×0.0929968252842218-π/2
    0.185993650568444-1.57079632675     		φ = -1.38480268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76967486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.099121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38480268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.343349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40796 KachelY 57512 0.76967486 -1.38480268 44.099121 -79.343349
    Oben rechts KachelX + 1 40797 KachelY 57512 0.76977073 -1.38480268 44.104614 -79.343349
    Unten links KachelX 40796 KachelY + 1 57513 0.76967486 -1.38482040 44.099121 -79.344364
    Unten rechts KachelX + 1 40797 KachelY + 1 57513 0.76977073 -1.38482040 44.104614 -79.344364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38480268--1.38482040) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38480268--1.38482040) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76967486-0.76977073) × cos(-1.38480268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184923134014026 × 6371000     		do = 112.948788645836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76967486-0.76977073) × cos(-1.38482040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184905719602055 × 6371000     		du = 112.938152135982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38480268)-sin(-1.38482040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184923134014026-0.184905719602055)×R²
    abs(0.76977073-0.76967486)×1.74144119709785e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74144119709785e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74144119709785e-05×40589641000000     		ar = 12750.6536997013m²