Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40795 / 8530
↖ ↑ ↗
← N 78.816905°
E 44.093628°		 ← 118.46 m → N 78.816905°
E 44.099121°		 →
↑
118.50 m
↓
↑
118.50 m
↓
N 78.815839°
E 44.093628°		 ← 118.47 m →
14 038 m²		 N 78.815839°
E 44.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622489929199219 y=0.130165100097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622489929199219 × 216)
    floor (0.622489929199219 × 65536)
    floor (40795.5)     		tx = 40795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130165100097656 × 216)
    floor (0.130165100097656 × 65536)
    floor (8530.5)     		ty = 8530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40795 / 8530 ti = "16/40795/8530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40795/8530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40795 ÷ 216
    40795 ÷ 65536     		x = 0.622482299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8530 ÷ 216
    8530 ÷ 65536     		y = 0.130157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622482299804688 × 2 - 1) × π
    0.244964599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76957899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130157470703125 × 2 - 1) × π
    0.73968505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32378914598184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76957899} λ = 0.76957899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32378914598184))-π/2
    2×atan(10.2143045631044)-π/2
    2×1.47320541258855-π/2
    2.94641082517711-1.57079632675     		φ = 1.37561450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76957899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.093628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37561450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.816905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40795 KachelY 8530 0.76957899 1.37561450 44.093628 78.816905
    Oben rechts KachelX + 1 40796 KachelY 8530 0.76967486 1.37561450 44.099121 78.816905
    Unten links KachelX 40795 KachelY + 1 8531 0.76957899 1.37559590 44.093628 78.815839
    Unten rechts KachelX + 1 40796 KachelY + 1 8531 0.76967486 1.37559590 44.099121 78.815839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37561450-1.37559590) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dl = 118.500599999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37561450-1.37559590) × R
    1.85999999999797e-05 × 6371000     		dr = 118.500599999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76957899-0.76967486) × cos(1.37561450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193944912511778 × 6371000     		do = 118.459180615911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76957899-0.76967486) × cos(1.37559590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.193963159309266 × 6371000     		du = 118.470325536659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37561450)-sin(1.37559590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193944912511778-0.193963159309266)×R²
    abs(0.76967486-0.76957899)×1.82467974880751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.82467974880751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.82467974880751e-05×40589641000000     		ar = 14038.1443191023m²