Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40795 / 57511
↖ ↑ ↗
← S 79.342333°
E 44.093628°		 ← 112.96 m → S 79.342333°
E 44.099121°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 79.343349°
E 44.093628°		 ← 112.95 m →
12 759 m²		 S 79.343349°
E 44.099121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40795 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622489929199219 y=0.877555847167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622489929199219 × 216)
    floor (0.622489929199219 × 65536)
    floor (40795.5)     		tx = 40795
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877555847167969 × 216)
    floor (0.877555847167969 × 65536)
    floor (57511.5)     		ty = 57511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40795 / 57511 ti = "16/40795/57511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40795/57511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40795 ÷ 216
    40795 ÷ 65536     		x = 0.622482299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57511 ÷ 216
    57511 ÷ 65536     		y = 0.877548217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622482299804688 × 2 - 1) × π
    0.244964599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76957899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877548217773438 × 2 - 1) × π
    -0.755096435546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.3722054145981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76957899} λ = 0.76957899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3722054145981))-π/2
    2×atan(0.0932747896909322)-π/2
    2×0.0930056903437394-π/2
    0.186011380687479-1.57079632675     		φ = -1.38478495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76957899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.093628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38478495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.342333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40795 KachelY 57511 0.76957899 -1.38478495 44.093628 -79.342333
    Oben rechts KachelX + 1 40796 KachelY 57511 0.76967486 -1.38478495 44.099121 -79.342333
    Unten links KachelX 40795 KachelY + 1 57512 0.76957899 -1.38480268 44.093628 -79.343349
    Unten rechts KachelX + 1 40796 KachelY + 1 57512 0.76967486 -1.38480268 44.099121 -79.343349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38478495--1.38480268) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38478495--1.38480268) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76957899-0.76967486) × cos(-1.38478495) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184940558195428 × 6371000     		do = 112.959431122738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76957899-0.76967486) × cos(-1.38480268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184923134014026 × 6371000     		du = 112.948788645836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38478495)-sin(-1.38480268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184940558195428-0.184923134014026)×R²
    abs(0.76967486-0.76957899)×1.74241814024367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74241814024367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74241814024367e-05×40589641000000     		ar = 12759.0511425032m²