Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40794 / 9879
↖ ↑ ↗
← N 77.284741°
E 44.088135°		 ← 134.45 m → N 77.284741°
E 44.093628°		 →
↑
134.43 m
↓
↑
134.43 m
↓
N 77.283532°
E 44.088135°		 ← 134.46 m →
18 075 m²		 N 77.283532°
E 44.093628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622474670410156 y=0.150749206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622474670410156 × 216)
    floor (0.622474670410156 × 65536)
    floor (40794.5)     		tx = 40794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150749206542969 × 216)
    floor (0.150749206542969 × 65536)
    floor (9879.5)     		ty = 9879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40794 / 9879 ti = "16/40794/9879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40794/9879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40794 ÷ 216
    40794 ÷ 65536     		x = 0.622467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9879 ÷ 216
    9879 ÷ 65536     		y = 0.150741577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150741577148438 × 2 - 1) × π
    0.698516845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19445539080693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76948311} λ = 0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19445539080693))-π/2
    2×atan(8.97511179717877)-π/2
    2×1.45983475960049-π/2
    2.91966951920097-1.57079632675     		φ = 1.34887319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34887319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.284741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40794 KachelY 9879 0.76948311 1.34887319 44.088135 77.284741
    Oben rechts KachelX + 1 40795 KachelY 9879 0.76957899 1.34887319 44.093628 77.284741
    Unten links KachelX 40794 KachelY + 1 9880 0.76948311 1.34885209 44.088135 77.283532
    Unten rechts KachelX + 1 40795 KachelY + 1 9880 0.76957899 1.34885209 44.093628 77.283532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34887319-1.34885209) × R
    2.10999999998851e-05 × 6371000     		dl = 134.428099999268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34887319-1.34885209) × R
    2.10999999998851e-05 × 6371000     		dr = 134.428099999268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76948311-0.76957899) × cos(1.34887319) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220106002660746 × 6371000     		do = 134.452077482112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76948311-0.76957899) × cos(1.34885209) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220126585154493 × 6371000     		du = 134.46465032888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34887319)-sin(1.34885209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220106002660746-0.220126585154493)×R²
    abs(0.76957899-0.76948311)×2.05824937474508e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.05824937474508e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.05824937474508e-05×40589641000000     		ar = 18074.9823893105m²