Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40794 / 57510
↖ ↑ ↗
← S 79.341317°
E 44.088135°		 ← 112.98 m → S 79.341317°
E 44.093628°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
S 79.342333°
E 44.088135°		 ← 112.97 m →
12 769 m²		 S 79.342333°
E 44.093628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622474670410156 y=0.877540588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622474670410156 × 216)
    floor (0.622474670410156 × 65536)
    floor (40794.5)     		tx = 40794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877540588378906 × 216)
    floor (0.877540588378906 × 65536)
    floor (57510.5)     		ty = 57510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40794 / 57510 ti = "16/40794/57510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40794/57510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40794 ÷ 216
    40794 ÷ 65536     		x = 0.622467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57510 ÷ 216
    57510 ÷ 65536     		y = 0.877532958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622467041015625 × 2 - 1) × π
    0.24493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76948311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877532958984375 × 2 - 1) × π
    -0.75506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37210954079886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76948311} λ = 0.76948311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37210954079886))-π/2
    2×atan(0.0932837327280878)-π/2
    2×0.0930145562385617-π/2
    0.186029112477123-1.57079632675     		φ = -1.38476721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76948311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38476721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.341317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40794 KachelY 57510 0.76948311 -1.38476721 44.088135 -79.341317
    Oben rechts KachelX + 1 40795 KachelY 57510 0.76957899 -1.38476721 44.093628 -79.341317
    Unten links KachelX 40794 KachelY + 1 57511 0.76948311 -1.38478495 44.088135 -79.342333
    Unten rechts KachelX + 1 40795 KachelY + 1 57511 0.76957899 -1.38478495 44.093628 -79.342333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38476721--1.38478495) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38476721--1.38478495) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76948311-0.76957899) × cos(-1.38476721) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.184957992146159 × 6371000     		do = 112.981863240235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76948311-0.76957899) × cos(-1.38478495) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.184940558195428 × 6371000     		du = 112.97121368563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38476721)-sin(-1.38478495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184957992146159-0.184940558195428)×R²
    abs(0.76957899-0.76948311)×1.74339507302834e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.74339507302834e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.74339507302834e-05×40589641000000     		ar = 12768.7823611257m²