Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40793 / 9878
↖ ↑ ↗
← N 77.285950°
E 44.082642°		 ← 134.43 m → N 77.285950°
E 44.088135°		 →
↑
134.43 m
↓
↑
134.43 m
↓
N 77.284741°
E 44.082642°		 ← 134.44 m →
18 071 m²		 N 77.284741°
E 44.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622459411621094 y=0.150733947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622459411621094 × 216)
    floor (0.622459411621094 × 65536)
    floor (40793.5)     		tx = 40793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150733947753906 × 216)
    floor (0.150733947753906 × 65536)
    floor (9878.5)     		ty = 9878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40793 / 9878 ti = "16/40793/9878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40793/9878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40793 ÷ 216
    40793 ÷ 65536     		x = 0.622451782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9878 ÷ 216
    9878 ÷ 65536     		y = 0.150726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622451782226562 × 2 - 1) × π
    0.244903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76938724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150726318359375 × 2 - 1) × π
    0.69854736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19455126460617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76938724} λ = 0.76938724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19455126460617))-π/2
    2×atan(8.97597231649534)-π/2
    2×1.45984531030636-π/2
    2.91969062061271-1.57079632675     		φ = 1.34889429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76938724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.082642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34889429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.285950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40793 KachelY 9878 0.76938724 1.34889429 44.082642 77.285950
    Oben rechts KachelX + 1 40794 KachelY 9878 0.76948311 1.34889429 44.088135 77.285950
    Unten links KachelX 40793 KachelY + 1 9879 0.76938724 1.34887319 44.082642 77.284741
    Unten rechts KachelX + 1 40794 KachelY + 1 9879 0.76948311 1.34887319 44.088135 77.284741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34889429-1.34887319) × R
    2.11000000001071e-05 × 6371000     		dl = 134.428100000683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34889429-1.34887319) × R
    2.11000000001071e-05 × 6371000     		dr = 134.428100000683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76938724-0.76948311) × cos(1.34889429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220085420069005 × 6371000     		do = 134.425482933458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76938724-0.76948311) × cos(1.34887319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.220106002660746 × 6371000     		du = 134.438054528768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34889429)-sin(1.34887319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220085420069005-0.220106002660746)×R²
    abs(0.76948311-0.76938724)×2.05825917410363e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05825917410363e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05825917410363e-05×40589641000000     		ar = 18071.4072511726m²