Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40791 / 57565
↖ ↑ ↗
← S 79.397053°
E 44.071655°		 ← 112.40 m → S 79.397053°
E 44.077149°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 79.398064°
E 44.071655°		 ← 112.39 m →
12 631 m²		 S 79.398064°
E 44.077149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622428894042969 y=0.878379821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622428894042969 × 216)
    floor (0.622428894042969 × 65536)
    floor (40791.5)     		tx = 40791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878379821777344 × 216)
    floor (0.878379821777344 × 65536)
    floor (57565.5)     		ty = 57565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40791 / 57565 ti = "16/40791/57565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40791/57565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40791 ÷ 216
    40791 ÷ 65536     		x = 0.622421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57565 ÷ 216
    57565 ÷ 65536     		y = 0.878372192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622421264648438 × 2 - 1) × π
    0.244842529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76919549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878372192382812 × 2 - 1) × π
    -0.756744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37738259975706
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76919549} λ = 0.76919549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37738259975706))-π/2
    2×atan(0.0927931367131841)-π/2
    2×0.0925281704614859-π/2
    0.185056340922972-1.57079632675     		φ = -1.38573999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76919549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.071655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38573999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.397053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40791 KachelY 57565 0.76919549 -1.38573999 44.071655 -79.397053
    Oben rechts KachelX + 1 40792 KachelY 57565 0.76929137 -1.38573999 44.077149 -79.397053
    Unten links KachelX 40791 KachelY + 1 57566 0.76919549 -1.38575763 44.071655 -79.398064
    Unten rechts KachelX + 1 40792 KachelY + 1 57566 0.76929137 -1.38575763 44.077149 -79.398064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38573999--1.38575763) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38573999--1.38575763) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76919549-0.76929137) × cos(-1.38573999) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.184001908714052 × 6371000     		do = 112.39783826086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76919549-0.76929137) × cos(-1.38575763) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183984569872794 × 6371000     		du = 112.387246804016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38573999)-sin(-1.38575763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184001908714052-0.183984569872794)×R²
    abs(0.76929137-0.76919549)×1.73388412580688e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.73388412580688e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.73388412580688e-05×40589641000000     		ar = 12631.1729532386m²