Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40791 / 57503
↖ ↑ ↗
← S 79.334202°
E 44.071655°		 ← 113.06 m → S 79.334202°
E 44.077149°		 →
↑
113.09 m
↓
↑
113.09 m
↓
S 79.335219°
E 44.071655°		 ← 113.05 m →
12 784 m²		 S 79.335219°
E 44.077149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622428894042969 y=0.877433776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622428894042969 × 216)
    floor (0.622428894042969 × 65536)
    floor (40791.5)     		tx = 40791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877433776855469 × 216)
    floor (0.877433776855469 × 65536)
    floor (57503.5)     		ty = 57503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40791 / 57503 ti = "16/40791/57503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40791/57503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40791 ÷ 216
    40791 ÷ 65536     		x = 0.622421264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57503 ÷ 216
    57503 ÷ 65536     		y = 0.877426147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622421264648438 × 2 - 1) × π
    0.244842529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76919549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877426147460938 × 2 - 1) × π
    -0.754852294921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.37143842420418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76919549} λ = 0.76919549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37143842420418))-π/2
    2×atan(0.0933463580012149)-π/2
    2×0.0930766408972302-π/2
    0.18615328179446-1.57079632675     		φ = -1.38464304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76919549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.071655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38464304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.334202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40791 KachelY 57503 0.76919549 -1.38464304 44.071655 -79.334202
    Oben rechts KachelX + 1 40792 KachelY 57503 0.76929137 -1.38464304 44.077149 -79.334202
    Unten links KachelX 40791 KachelY + 1 57504 0.76919549 -1.38466079 44.071655 -79.335219
    Unten rechts KachelX + 1 40792 KachelY + 1 57504 0.76929137 -1.38466079 44.077149 -79.335219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38464304--1.38466079) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dl = 113.085250000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38464304--1.38466079) × R
    1.77500000000386e-05 × 6371000     		dr = 113.085250000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76919549-0.76929137) × cos(-1.38464304) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185080018343913 × 6371000     		do = 113.056403123863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76919549-0.76929137) × cos(-1.38466079) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185062574973451 × 6371000     		du = 113.045747815201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38464304)-sin(-1.38466079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185080018343913-0.185062574973451)×R²
    abs(0.76929137-0.76919549)×1.74433704614174e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74433704614174e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74433704614174e-05×40589641000000     		ar = 12784.4091323489m²