Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40789 / 9881
↖ ↑ ↗
← N 77.282322°
E 44.060669°		 ← 134.48 m → N 77.282322°
E 44.066162°		 →
↑
134.43 m
↓
↑
134.43 m
↓
N 77.281113°
E 44.060669°		 ← 134.49 m →
18 078 m²		 N 77.281113°
E 44.066162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622398376464844 y=0.150779724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622398376464844 × 216)
    floor (0.622398376464844 × 65536)
    floor (40789.5)     		tx = 40789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150779724121094 × 216)
    floor (0.150779724121094 × 65536)
    floor (9881.5)     		ty = 9881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40789 / 9881 ti = "16/40789/9881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40789/9881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40789 ÷ 216
    40789 ÷ 65536     		x = 0.622390747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9881 ÷ 216
    9881 ÷ 65536     		y = 0.150772094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622390747070312 × 2 - 1) × π
    0.244781494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76900374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150772094726562 × 2 - 1) × π
    0.698455810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19426364320845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76900374} λ = 0.76900374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19426364320845))-π/2
    2×atan(8.97339100602963)-π/2
    2×1.45981365522833-π/2
    2.91962731045667-1.57079632675     		φ = 1.34883098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76900374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.060669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34883098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.282322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40789 KachelY 9881 0.76900374 1.34883098 44.060669 77.282322
    Oben rechts KachelX + 1 40790 KachelY 9881 0.76909962 1.34883098 44.066162 77.282322
    Unten links KachelX 40789 KachelY + 1 9882 0.76900374 1.34880988 44.060669 77.281113
    Unten rechts KachelX + 1 40790 KachelY + 1 9882 0.76909962 1.34880988 44.066162 77.281113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34883098-1.34880988) × R
    2.11000000001071e-05 × 6371000     		dl = 134.428100000683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34883098-1.34880988) × R
    2.11000000001071e-05 × 6371000     		dr = 134.428100000683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76900374-0.76909962) × cos(1.34883098) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220147177304905 × 6371000     		do = 134.477229074435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76900374-0.76909962) × cos(1.34880988) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.220167759602592 × 6371000     		du = 134.489801801439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34883098)-sin(1.34880988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220147177304905-0.220167759602592)×R²
    abs(0.76909962-0.76900374)×2.05822976869219e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.05822976869219e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.05822976869219e-05×40589641000000     		ar = 18078.3634625042m²