Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40788 / 57461
↖ ↑ ↗
← S 79.291418°
E 44.055176°		 ← 113.49 m → S 79.291418°
E 44.060669°		 →
↑
113.47 m
↓
↑
113.47 m
↓
S 79.292438°
E 44.055176°		 ← 113.48 m →
12 877 m²		 S 79.292438°
E 44.060669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622383117675781 y=0.876792907714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622383117675781 × 216)
    floor (0.622383117675781 × 65536)
    floor (40788.5)     		tx = 40788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876792907714844 × 216)
    floor (0.876792907714844 × 65536)
    floor (57461.5)     		ty = 57461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40788 / 57461 ti = "16/40788/57461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40788/57461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40788 ÷ 216
    40788 ÷ 65536     		x = 0.62237548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57461 ÷ 216
    57461 ÷ 65536     		y = 0.876785278320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62237548828125 × 2 - 1) × π
    0.2447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76890787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876785278320312 × 2 - 1) × π
    -0.753570556640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36741172463609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76890787} λ = 0.76890787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36741172463609))-π/2
    2×atan(0.0937229935308159)-π/2
    2×0.0934500099157573-π/2
    0.186900019831515-1.57079632675     		φ = -1.38389631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76890787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38389631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.291418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40788 KachelY 57461 0.76890787 -1.38389631 44.055176 -79.291418
    Oben rechts KachelX + 1 40789 KachelY 57461 0.76900374 -1.38389631 44.060669 -79.291418
    Unten links KachelX 40788 KachelY + 1 57462 0.76890787 -1.38391412 44.055176 -79.292438
    Unten rechts KachelX + 1 40789 KachelY + 1 57462 0.76900374 -1.38391412 44.060669 -79.292438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38389631--1.38391412) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dl = 113.467510000752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38389631--1.38391412) × R
    1.7810000000118e-05 × 6371000     		dr = 113.467510000752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76890787-0.76900374) × cos(-1.38389631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185813795759599 × 6371000     		do = 113.492793947238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76890787-0.76900374) × cos(-1.38391412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185796295891723 × 6371000     		du = 113.482105241963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38389631)-sin(-1.38391412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185813795759599-0.185796295891723)×R²
    abs(0.76900374-0.76890787)×1.74998678755256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74998678755256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74998678755256e-05×40589641000000     		ar = 12877.1383222556m²