Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40788 / 57460
↖ ↑ ↗
← S 79.290397°
E 44.055176°		 ← 113.50 m → S 79.290397°
E 44.060669°		 →
↑
113.53 m
↓
↑
113.53 m
↓
S 79.291418°
E 44.055176°		 ← 113.49 m →
12 886 m²		 S 79.291418°
E 44.060669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622383117675781 y=0.876777648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622383117675781 × 216)
    floor (0.622383117675781 × 65536)
    floor (40788.5)     		tx = 40788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876777648925781 × 216)
    floor (0.876777648925781 × 65536)
    floor (57460.5)     		ty = 57460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40788 / 57460 ti = "16/40788/57460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40788/57460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40788 ÷ 216
    40788 ÷ 65536     		x = 0.62237548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57460 ÷ 216
    57460 ÷ 65536     		y = 0.87677001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62237548828125 × 2 - 1) × π
    0.2447509765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76890787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87677001953125 × 2 - 1) × π
    -0.7535400390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36731585083685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76890787} λ = 0.76890787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36731585083685))-π/2
    2×atan(0.0937319795410364)-π/2
    2×0.0934589176727425-π/2
    0.186917835345485-1.57079632675     		φ = -1.38387849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76890787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.055176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38387849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.290397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40788 KachelY 57460 0.76890787 -1.38387849 44.055176 -79.290397
    Oben rechts KachelX + 1 40789 KachelY 57460 0.76900374 -1.38387849 44.060669 -79.290397
    Unten links KachelX 40788 KachelY + 1 57461 0.76890787 -1.38389631 44.055176 -79.291418
    Unten rechts KachelX + 1 40789 KachelY + 1 57461 0.76900374 -1.38389631 44.060669 -79.291418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38387849--1.38389631) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dl = 113.53121999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38387849--1.38389631) × R
    1.78199999998352e-05 × 6371000     		dr = 113.53121999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76890787-0.76900374) × cos(-1.38387849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185831305394351 × 6371000     		do = 113.503488618002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76890787-0.76900374) × cos(-1.38389631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185813795759599 × 6371000     		du = 113.492793947238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38387849)-sin(-1.38389631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185831305394351-0.185813795759599)×R²
    abs(0.76900374-0.76890787)×1.75096347525272e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75096347525272e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75096347525272e-05×40589641000000     		ar = 12885.5824474423m²