Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40786 / 9877
↖ ↑ ↗
← N 77.287159°
E 44.044189°		 ← 134.43 m → N 77.287159°
E 44.049683°		 →
↑
134.43 m
↓
↑
134.43 m
↓
N 77.285950°
E 44.044189°		 ← 134.44 m →
18 072 m²		 N 77.285950°
E 44.049683°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622352600097656 y=0.150718688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622352600097656 × 216)
    floor (0.622352600097656 × 65536)
    floor (40786.5)     		tx = 40786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150718688964844 × 216)
    floor (0.150718688964844 × 65536)
    floor (9877.5)     		ty = 9877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40786 / 9877 ti = "16/40786/9877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40786/9877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40786 ÷ 216
    40786 ÷ 65536     		x = 0.622344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9877 ÷ 216
    9877 ÷ 65536     		y = 0.150711059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622344970703125 × 2 - 1) × π
    0.24468994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76871612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150711059570312 × 2 - 1) × π
    0.698577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19464713840541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76871612} λ = 0.76871612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19464713840541))-π/2
    2×atan(8.97683291831712)-π/2
    2×1.45985586002554-π/2
    2.91971172005108-1.57079632675     		φ = 1.34891539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76871612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.044189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34891539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.287159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40786 KachelY 9877 0.76871612 1.34891539 44.044189 77.287159
    Oben rechts KachelX + 1 40787 KachelY 9877 0.76881200 1.34891539 44.049683 77.287159
    Unten links KachelX 40786 KachelY + 1 9878 0.76871612 1.34889429 44.044189 77.285950
    Unten rechts KachelX + 1 40787 KachelY + 1 9878 0.76881200 1.34889429 44.049683 77.285950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34891539-1.34889429) × R
    2.10999999998851e-05 × 6371000     		dl = 134.428099999268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34891539-1.34889429) × R
    2.10999999998851e-05 × 6371000     		dr = 134.428099999268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76871612-0.76881200) × cos(1.34891539) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.22006483737928 × 6371000     		do = 134.42693160916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76871612-0.76881200) × cos(1.34889429) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.220085420069005 × 6371000     		du = 134.439504575641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34891539)-sin(1.34889429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22006483737928-0.220085420069005)×R²
    abs(0.76881200-0.76871612)×2.05826897250738e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.05826897250738e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.05826897250738e-05×40589641000000     		ar = 18071.6020856533m²