Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40785 / 57571
↖ ↑ ↗
← S 79.403115°
E 44.038696°		 ← 112.32 m → S 79.403115°
E 44.044189°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
S 79.404126°
E 44.038696°		 ← 112.31 m →
12 616 m²		 S 79.404126°
E 44.044189°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622337341308594 y=0.878471374511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622337341308594 × 216)
    floor (0.622337341308594 × 65536)
    floor (40785.5)     		tx = 40785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878471374511719 × 216)
    floor (0.878471374511719 × 65536)
    floor (57571.5)     		ty = 57571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40785 / 57571 ti = "16/40785/57571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40785/57571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40785 ÷ 216
    40785 ÷ 65536     		x = 0.622329711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57571 ÷ 216
    57571 ÷ 65536     		y = 0.878463745117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622329711914062 × 2 - 1) × π
    0.244659423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76862025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878463745117188 × 2 - 1) × π
    -0.756927490234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37795784255251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76862025} λ = 0.76862025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37795784255251))-π/2
    2×atan(0.0927397734797029)-π/2
    2×0.0924752625332874-π/2
    0.184950525066575-1.57079632675     		φ = -1.38584580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76862025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.038696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38584580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.403115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40785 KachelY 57571 0.76862025 -1.38584580 44.038696 -79.403115
    Oben rechts KachelX + 1 40786 KachelY 57571 0.76871612 -1.38584580 44.044189 -79.403115
    Unten links KachelX 40785 KachelY + 1 57572 0.76862025 -1.38586343 44.038696 -79.404126
    Unten rechts KachelX + 1 40786 KachelY + 1 57572 0.76871612 -1.38586343 44.044189 -79.404126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38584580--1.38586343) × R
    1.76299999998797e-05 × 6371000     		dl = 112.320729999233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38584580--1.38586343) × R
    1.76299999998797e-05 × 6371000     		dr = 112.320729999233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76862025-0.76871612) × cos(-1.38584580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183897904296216 × 6371000     		do = 112.322590872757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76862025-0.76871612) × cos(-1.38586343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18388057494112 × 6371000     		du = 112.312006314602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38584580)-sin(-1.38586343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183897904296216-0.18388057494112)×R²
    abs(0.76871612-0.76862025)×1.73293550961573e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73293550961573e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73293550961573e-05×40589641000000     		ar = 12615.5609697958m²