Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40782 / 57502
↖ ↑ ↗
← S 79.333186°
E 44.022217°		 ← 113.06 m → S 79.333186°
E 44.027710°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
S 79.334202°
E 44.022217°		 ← 113.04 m →
12 777 m²		 S 79.334202°
E 44.027710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622291564941406 y=0.877418518066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622291564941406 × 216)
    floor (0.622291564941406 × 65536)
    floor (40782.5)     		tx = 40782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877418518066406 × 216)
    floor (0.877418518066406 × 65536)
    floor (57502.5)     		ty = 57502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40782 / 57502 ti = "16/40782/57502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40782/57502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40782 ÷ 216
    40782 ÷ 65536     		x = 0.622283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57502 ÷ 216
    57502 ÷ 65536     		y = 0.877410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622283935546875 × 2 - 1) × π
    0.24456787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76833263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.75482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.37134255040494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76833263} λ = 0.76833263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37134255040494))-π/2
    2×atan(0.0933553079002252)-π/2
    2×0.0930855134772245-π/2
    0.186171026954449-1.57079632675     		φ = -1.38462530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76833263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.022217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38462530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.333186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40782 KachelY 57502 0.76833263 -1.38462530 44.022217 -79.333186
    Oben rechts KachelX + 1 40783 KachelY 57502 0.76842850 -1.38462530 44.027710 -79.333186
    Unten links KachelX 40782 KachelY + 1 57503 0.76833263 -1.38464304 44.022217 -79.334202
    Unten rechts KachelX + 1 40783 KachelY + 1 57503 0.76842850 -1.38464304 44.027710 -79.334202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38462530--1.38464304) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dl = 113.021540000633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38462530--1.38464304) × R
    1.77400000000993e-05 × 6371000     		dr = 113.021540000633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76833263-0.76842850) × cos(-1.38462530) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185097451828861 × 6371000     		do = 113.05525983523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76833263-0.76842850) × cos(-1.38464304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185080018343913 × 6371000     		du = 113.044611675835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38462530)-sin(-1.38464304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185097451828861-0.185080018343913)×R²
    abs(0.76842850-0.76833263)×1.74334849480096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.74334849480096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.74334849480096e-05×40589641000000     		ar = 12777.0778365059m²