Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40779 / 57570
↖ ↑ ↗
← S 79.402105°
E 44.005738°		 ← 112.33 m → S 79.402105°
E 44.011230°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
S 79.403115°
E 44.005738°		 ← 112.32 m →
12 617 m²		 S 79.403115°
E 44.011230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622245788574219 y=0.878456115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622245788574219 × 216)
    floor (0.622245788574219 × 65536)
    floor (40779.5)     		tx = 40779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878456115722656 × 216)
    floor (0.878456115722656 × 65536)
    floor (57570.5)     		ty = 57570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40779 / 57570 ti = "16/40779/57570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40779/57570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40779 ÷ 216
    40779 ÷ 65536     		x = 0.622238159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57570 ÷ 216
    57570 ÷ 65536     		y = 0.878448486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622238159179688 × 2 - 1) × π
    0.244476318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76804501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878448486328125 × 2 - 1) × π
    -0.75689697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37786196875327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76804501} λ = 0.76804501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37786196875327))-π/2
    2×atan(0.0927486652203627)-π/2
    2×0.0924840784439776-π/2
    0.184968156887955-1.57079632675     		φ = -1.38582817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76804501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.005738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38582817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.402105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40779 KachelY 57570 0.76804501 -1.38582817 44.005738 -79.402105
    Oben rechts KachelX + 1 40780 KachelY 57570 0.76814088 -1.38582817 44.011230 -79.402105
    Unten links KachelX 40779 KachelY + 1 57571 0.76804501 -1.38584580 44.005738 -79.403115
    Unten rechts KachelX + 1 40780 KachelY + 1 57571 0.76814088 -1.38584580 44.011230 -79.403115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38582817--1.38584580) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38582817--1.38584580) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76804501-0.76814088) × cos(-1.38582817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183915233594154 × 6371000     		do = 112.333175396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76804501-0.76814088) × cos(-1.38584580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183897904296216 × 6371000     		du = 112.322590872757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38582817)-sin(-1.38584580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183915233594154-0.183897904296216)×R²
    abs(0.76814088-0.76804501)×1.73292979377959e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73292979377959e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73292979377959e-05×40589641000000     		ar = 12616.7498332521m²