Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40778 / 57573
↖ ↑ ↗
← S 79.405136°
E 44.000244°		 ← 112.31 m → S 79.405136°
E 44.005738°		 →
↑
112.32 m
↓
↑
112.32 m
↓
S 79.406146°
E 44.000244°		 ← 112.30 m →
12 614 m²		 S 79.406146°
E 44.005738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622230529785156 y=0.878501892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622230529785156 × 216)
    floor (0.622230529785156 × 65536)
    floor (40778.5)     		tx = 40778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878501892089844 × 216)
    floor (0.878501892089844 × 65536)
    floor (57573.5)     		ty = 57573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40778 / 57573 ti = "16/40778/57573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40778/57573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40778 ÷ 216
    40778 ÷ 65536     		x = 0.622222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57573 ÷ 216
    57573 ÷ 65536     		y = 0.878494262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622222900390625 × 2 - 1) × π
    0.24444580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76794913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878494262695312 × 2 - 1) × π
    -0.756988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37814959015099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76794913} λ = 0.76794913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37814959015099))-π/2
    2×atan(0.0927219925556337)-π/2
    2×0.0924576332041141-π/2
    0.184915266408228-1.57079632675     		φ = -1.38588106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76794913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.000244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38588106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.405136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40778 KachelY 57573 0.76794913 -1.38588106 44.000244 -79.405136
    Oben rechts KachelX + 1 40779 KachelY 57573 0.76804501 -1.38588106 44.005738 -79.405136
    Unten links KachelX 40778 KachelY + 1 57574 0.76794913 -1.38589869 44.000244 -79.406146
    Unten rechts KachelX + 1 40779 KachelY + 1 57574 0.76804501 -1.38589869 44.005738 -79.406146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38588106--1.38589869) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dl = 112.320730000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38588106--1.38589869) × R
    1.76300000001017e-05 × 6371000     		dr = 112.320730000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76794913-0.76804501) × cos(-1.38588106) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183863245528871 × 6371000     		do = 112.31313564897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76794913-0.76804501) × cos(-1.38589869) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183845916059473 × 6371000     		du = 112.302549916941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38588106)-sin(-1.38589869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183863245528871-0.183845916059473)×R²
    abs(0.76804501-0.76794913)×1.73294693973647e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.73294693973647e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.73294693973647e-05×40589641000000     		ar = 12614.4988865264m²