Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40777 / 57578
↖ ↑ ↗
← S 79.410185°
E 43.994751°		 ← 112.25 m → S 79.410185°
E 44.000244°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 79.411194°
E 43.994751°		 ← 112.24 m →
12 600 m²		 S 79.411194°
E 44.000244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622215270996094 y=0.878578186035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622215270996094 × 216)
    floor (0.622215270996094 × 65536)
    floor (40777.5)     		tx = 40777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878578186035156 × 216)
    floor (0.878578186035156 × 65536)
    floor (57578.5)     		ty = 57578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40777 / 57578 ti = "16/40777/57578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40777/57578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40777 ÷ 216
    40777 ÷ 65536     		x = 0.622207641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57578 ÷ 216
    57578 ÷ 65536     		y = 0.878570556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622207641601562 × 2 - 1) × π
    0.244415283203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76785326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878570556640625 × 2 - 1) × π
    -0.75714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37862895914719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76785326} λ = 0.76785326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37862895914719))-π/2
    2×atan(0.0926775551589427)-π/2
    2×0.0924135744155302-π/2
    0.18482714883106-1.57079632675     		φ = -1.38596918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76785326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.994751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38596918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.410185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40777 KachelY 57578 0.76785326 -1.38596918 43.994751 -79.410185
    Oben rechts KachelX + 1 40778 KachelY 57578 0.76794913 -1.38596918 44.000244 -79.410185
    Unten links KachelX 40777 KachelY + 1 57579 0.76785326 -1.38598680 43.994751 -79.411194
    Unten rechts KachelX + 1 40778 KachelY + 1 57579 0.76794913 -1.38598680 44.000244 -79.411194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38596918--1.38598680) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38596918--1.38598680) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76785326-0.76794913) × cos(-1.38596918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183776627099555 × 6371000     		do = 112.248516244256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76785326-0.76794913) × cos(-1.38598680) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18375930717431 × 6371000     		du = 112.237937445739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38596918)-sin(-1.38598680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183776627099555-0.18375930717431)×R²
    abs(0.76794913-0.76785326)×1.73199252455347e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73199252455347e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73199252455347e-05×40589641000000     		ar = 12600.0901608833m²