Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40773 / 57619
↖ ↑ ↗
← S 79.451495°
E 43.972778°		 ← 111.83 m → S 79.451495°
E 43.978272°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 79.452500°
E 43.972778°		 ← 111.82 m →
12 503 m²		 S 79.452500°
E 43.978272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622154235839844 y=0.879203796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622154235839844 × 216)
    floor (0.622154235839844 × 65536)
    floor (40773.5)     		tx = 40773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879203796386719 × 216)
    floor (0.879203796386719 × 65536)
    floor (57619.5)     		ty = 57619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40773 / 57619 ti = "16/40773/57619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40773/57619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40773 ÷ 216
    40773 ÷ 65536     		x = 0.622146606445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57619 ÷ 216
    57619 ÷ 65536     		y = 0.879196166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622146606445312 × 2 - 1) × π
    0.244293212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76746976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879196166992188 × 2 - 1) × π
    -0.758392333984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38255978491603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76746976} λ = 0.76746976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38255978491603))-π/2
    2×atan(0.0923139708982777)-π/2
    2×0.0920530744043546-π/2
    0.184106148808709-1.57079632675     		φ = -1.38669018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76746976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.972778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38669018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.451495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40773 KachelY 57619 0.76746976 -1.38669018 43.972778 -79.451495
    Oben rechts KachelX + 1 40774 KachelY 57619 0.76756564 -1.38669018 43.978272 -79.451495
    Unten links KachelX 40773 KachelY + 1 57620 0.76746976 -1.38670773 43.972778 -79.452500
    Unten rechts KachelX + 1 40774 KachelY + 1 57620 0.76756564 -1.38670773 43.978272 -79.452500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38669018--1.38670773) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dl = 111.811049999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38669018--1.38670773) × R
    1.75499999999218e-05 × 6371000     		dr = 111.811049999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76746976-0.76756564) × cos(-1.38669018) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183067859442797 × 6371000     		do = 111.827272881121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76746976-0.76756564) × cos(-1.38670773) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.183050606004706 × 6371000     		du = 111.816733592928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38669018)-sin(-1.38670773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183067859442797-0.183050606004706)×R²
    abs(0.76756564-0.76746976)×1.72534380905864e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.72534380905864e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.72534380905864e-05×40589641000000     		ar = 12502.9355954336m²