Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40770 / 10002
↖ ↑ ↗
← N 77.135166°
E 43.956299°		 ← 136.01 m → N 77.135166°
E 43.961792°		 →
↑
135.96 m
↓
↑
135.96 m
↓
N 77.133943°
E 43.956299°		 ← 136.02 m →
18 492 m²		 N 77.133943°
E 43.961792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622108459472656 y=0.152626037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622108459472656 × 216)
    floor (0.622108459472656 × 65536)
    floor (40770.5)     		tx = 40770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152626037597656 × 216)
    floor (0.152626037597656 × 65536)
    floor (10002.5)     		ty = 10002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40770 / 10002 ti = "16/40770/10002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40770/10002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40770 ÷ 216
    40770 ÷ 65536     		x = 0.622100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10002 ÷ 216
    10002 ÷ 65536     		y = 0.152618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622100830078125 × 2 - 1) × π
    0.24420166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.76718214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152618408203125 × 2 - 1) × π
    0.69476318359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1826629135004
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76718214} λ = 0.76718214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1826629135004))-π/2
    2×atan(8.86989460000315)-π/2
    2×1.45852947040472-π/2
    2.91705894080943-1.57079632675     		φ = 1.34626261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76718214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.956299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34626261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.135166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40770 KachelY 10002 0.76718214 1.34626261 43.956299 77.135166
    Oben rechts KachelX + 1 40771 KachelY 10002 0.76727802 1.34626261 43.961792 77.135166
    Unten links KachelX 40770 KachelY + 1 10003 0.76718214 1.34624127 43.956299 77.133943
    Unten rechts KachelX + 1 40771 KachelY + 1 10003 0.76727802 1.34624127 43.961792 77.133943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34626261-1.34624127) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dl = 135.957139999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34626261-1.34624127) × R
    2.13399999999808e-05 × 6371000     		dr = 135.957139999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76718214-0.76727802) × cos(1.34626261) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222651807773761 × 6371000     		do = 136.007186303346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76718214-0.76727802) × cos(1.34624127) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.222672612047062 × 6371000     		du = 136.019894624482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34626261)-sin(1.34624127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222651807773761-0.222672612047062)×R²
    abs(0.76727802-0.76718214)×2.08042733006453e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.08042733006453e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.08042733006453e-05×40589641000000     		ar = 18492.0119634218m²