Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40764 / 57617
↖ ↑ ↗
← S 79.449483°
E 43.923340°		 ← 111.84 m → S 79.449483°
E 43.928833°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 79.450489°
E 43.923340°		 ← 111.83 m →
12 511 m²		 S 79.450489°
E 43.928833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40764 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622016906738281 y=0.879173278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622016906738281 × 216)
    floor (0.622016906738281 × 65536)
    floor (40764.5)     		tx = 40764
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879173278808594 × 216)
    floor (0.879173278808594 × 65536)
    floor (57617.5)     		ty = 57617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40764 / 57617 ti = "16/40764/57617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40764/57617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40764 ÷ 216
    40764 ÷ 65536     		x = 0.62200927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57617 ÷ 216
    57617 ÷ 65536     		y = 0.879165649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62200927734375 × 2 - 1) × π
    0.2440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76660690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.758331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38236803731755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76660690} λ = 0.76660690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38236803731755))-π/2
    2×atan(0.0923316735776725)-π/2
    2×0.0920706274701312-π/2
    0.184141254940262-1.57079632675     		φ = -1.38665507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76660690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.923340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38665507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.449483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40764 KachelY 57617 0.76660690 -1.38665507 43.923340 -79.449483
    Oben rechts KachelX + 1 40765 KachelY 57617 0.76670277 -1.38665507 43.928833 -79.449483
    Unten links KachelX 40764 KachelY + 1 57618 0.76660690 -1.38667263 43.923340 -79.450489
    Unten rechts KachelX + 1 40765 KachelY + 1 57618 0.76670277 -1.38667263 43.928833 -79.450489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38665507--1.38667263) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38665507--1.38667263) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76660690-0.76670277) × cos(-1.38665507) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183102375980755 × 6371000     		do = 111.836691906985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76660690-0.76670277) × cos(-1.38667263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.183085112824502 × 6371000     		du = 111.826147782274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38665507)-sin(-1.38667263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183102375980755-0.183085112824502)×R²
    abs(0.76670277-0.76660690)×1.72631562531944e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.72631562531944e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.72631562531944e-05×40589641000000     		ar = 12511.1132557577m²