Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40762 / 57424
↖ ↑ ↗
← S 79.253585°
E 43.912353°		 ← 113.89 m → S 79.253585°
E 43.917846°		 →
↑
113.91 m
↓
↑
113.91 m
↓
S 79.254610°
E 43.912353°		 ← 113.88 m →
12 973 m²		 S 79.254610°
E 43.917846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621986389160156 y=0.876228332519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621986389160156 × 216)
    floor (0.621986389160156 × 65536)
    floor (40762.5)     		tx = 40762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876228332519531 × 216)
    floor (0.876228332519531 × 65536)
    floor (57424.5)     		ty = 57424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40762 / 57424 ti = "16/40762/57424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40762/57424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40762 ÷ 216
    40762 ÷ 65536     		x = 0.621978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57424 ÷ 216
    57424 ÷ 65536     		y = 0.876220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621978759765625 × 2 - 1) × π
    0.24395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76641515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876220703125 × 2 - 1) × π
    -0.75244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36386439406421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76641515} λ = 0.76641515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36386439406421))-π/2
    2×atan(0.0940560503531271)-π/2
    2×0.093780156413739-π/2
    0.187560312827478-1.57079632675     		φ = -1.38323601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76641515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.912353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38323601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.253585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40762 KachelY 57424 0.76641515 -1.38323601 43.912353 -79.253585
    Oben rechts KachelX + 1 40763 KachelY 57424 0.76651102 -1.38323601 43.917846 -79.253585
    Unten links KachelX 40762 KachelY + 1 57425 0.76641515 -1.38325389 43.912353 -79.254610
    Unten rechts KachelX + 1 40763 KachelY + 1 57425 0.76651102 -1.38325389 43.917846 -79.254610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38323601--1.38325389) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dl = 113.913479999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38323601--1.38325389) × R
    1.78799999999146e-05 × 6371000     		dr = 113.913479999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76641515-0.76651102) × cos(-1.38323601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186462556064473 × 6371000     		do = 113.889048807117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76641515-0.76651102) × cos(-1.38325389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186444989612892 × 6371000     		du = 113.878319433329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38323601)-sin(-1.38325389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186462556064473-0.186444989612892)×R²
    abs(0.76651102-0.76641515)×1.75664515814911e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75664515814911e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75664515814911e-05×40589641000000     		ar = 12972.8867735448m²