Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40762 / 10005
↖ ↑ ↗
← N 77.131496°
E 43.912353°		 ← 136.03 m → N 77.131496°
E 43.917846°		 →
↑
136.08 m
↓
↑
136.08 m
↓
N 77.130273°
E 43.912353°		 ← 136.04 m →
18 513 m²		 N 77.130273°
E 43.917846°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621986389160156 y=0.152671813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621986389160156 × 216)
    floor (0.621986389160156 × 65536)
    floor (40762.5)     		tx = 40762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152671813964844 × 216)
    floor (0.152671813964844 × 65536)
    floor (10005.5)     		ty = 10005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40762 / 10005 ti = "16/40762/10005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40762/10005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40762 ÷ 216
    40762 ÷ 65536     		x = 0.621978759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10005 ÷ 216
    10005 ÷ 65536     		y = 0.152664184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621978759765625 × 2 - 1) × π
    0.24395751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76641515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152664184570312 × 2 - 1) × π
    0.694671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18237529210268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76641515} λ = 0.76641515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18237529210268))-π/2
    2×atan(8.86734379537124)-π/2
    2×1.45849744620361-π/2
    2.91699489240723-1.57079632675     		φ = 1.34619857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76641515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.912353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34619857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.131496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40762 KachelY 10005 0.76641515 1.34619857 43.912353 77.131496
    Oben rechts KachelX + 1 40763 KachelY 10005 0.76651102 1.34619857 43.917846 77.131496
    Unten links KachelX 40762 KachelY + 1 10006 0.76641515 1.34617721 43.912353 77.130273
    Unten rechts KachelX + 1 40763 KachelY + 1 10006 0.76651102 1.34617721 43.917846 77.130273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34619857-1.34617721) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dl = 136.084560000518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34619857-1.34617721) × R
    2.13600000000813e-05 × 6371000     		dr = 136.084560000518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76641515-0.76651102) × cos(1.34619857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222714239787116 × 6371000     		do = 136.031133866815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76641515-0.76651102) × cos(1.34617721) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222735063253662 × 6371000     		du = 136.04385258551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34619857)-sin(1.34617721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222714239787116-0.222735063253662)×R²
    abs(0.76651102-0.76641515)×2.08234665451945e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08234665451945e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08234665451945e-05×40589641000000     		ar = 18512.60240988m²