Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40761 / 57557
↖ ↑ ↗
← S 79.388963°
E 43.906861°		 ← 112.47 m → S 79.388963°
E 43.912353°		 →
↑
112.51 m
↓
↑
112.51 m
↓
S 79.389975°
E 43.906861°		 ← 112.46 m →
12 654 m²		 S 79.389975°
E 43.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621971130371094 y=0.878257751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621971130371094 × 216)
    floor (0.621971130371094 × 65536)
    floor (40761.5)     		tx = 40761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878257751464844 × 216)
    floor (0.878257751464844 × 65536)
    floor (57557.5)     		ty = 57557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40761 / 57557 ti = "16/40761/57557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40761/57557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40761 ÷ 216
    40761 ÷ 65536     		x = 0.621963500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57557 ÷ 216
    57557 ÷ 65536     		y = 0.878250122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621963500976562 × 2 - 1) × π
    0.243927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76631928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878250122070312 × 2 - 1) × π
    -0.756500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.37661560936314
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76631928} λ = 0.76631928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37661560936314))-π/2
    2×atan(0.0928643354585515)-π/2
    2×0.092598760916573-π/2
    0.185197521833146-1.57079632675     		φ = -1.38559880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76631928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.906861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38559880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.388963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40761 KachelY 57557 0.76631928 -1.38559880 43.906861 -79.388963
    Oben rechts KachelX + 1 40762 KachelY 57557 0.76641515 -1.38559880 43.912353 -79.388963
    Unten links KachelX 40761 KachelY + 1 57558 0.76631928 -1.38561646 43.906861 -79.389975
    Unten rechts KachelX + 1 40762 KachelY + 1 57558 0.76641515 -1.38561646 43.912353 -79.389975
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38559880--1.38561646) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dl = 112.511860000901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38559880--1.38561646) × R
    1.76600000001415e-05 × 6371000     		dr = 112.511860000901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76631928-0.76641515) × cos(-1.38559880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184140686185448 × 6371000     		do = 112.470879081477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76631928-0.76641515) × cos(-1.38561646) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.184123328144551 × 6371000     		du = 112.460277002386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38559880)-sin(-1.38561646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184140686185448-0.184123328144551)×R²
    abs(0.76641515-0.76631928)×1.73580408962537e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.73580408962537e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.73580408962537e-05×40589641000000     		ar = 12653.7113721778m²