Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40761 / 57425
↖ ↑ ↗
← S 79.254610°
E 43.906861°		 ← 113.88 m → S 79.254610°
E 43.912353°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 79.255634°
E 43.906861°		 ← 113.87 m →
12 964 m²		 S 79.255634°
E 43.912353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621971130371094 y=0.876243591308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621971130371094 × 216)
    floor (0.621971130371094 × 65536)
    floor (40761.5)     		tx = 40761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876243591308594 × 216)
    floor (0.876243591308594 × 65536)
    floor (57425.5)     		ty = 57425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40761 / 57425 ti = "16/40761/57425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40761/57425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40761 ÷ 216
    40761 ÷ 65536     		x = 0.621963500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57425 ÷ 216
    57425 ÷ 65536     		y = 0.876235961914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621963500976562 × 2 - 1) × π
    0.243927001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.76631928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876235961914062 × 2 - 1) × π
    -0.752471923828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.36396026786345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76631928} λ = 0.76631928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36396026786345))-π/2
    2×atan(0.0940470332744959)-π/2
    2×0.0937712183980465-π/2
    0.187542436796093-1.57079632675     		φ = -1.38325389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76631928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.906861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38325389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.254610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40761 KachelY 57425 0.76631928 -1.38325389 43.906861 -79.254610
    Oben rechts KachelX + 1 40762 KachelY 57425 0.76641515 -1.38325389 43.912353 -79.254610
    Unten links KachelX 40761 KachelY + 1 57426 0.76631928 -1.38327176 43.906861 -79.255634
    Unten rechts KachelX + 1 40762 KachelY + 1 57426 0.76641515 -1.38327176 43.912353 -79.255634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38325389--1.38327176) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38325389--1.38327176) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76631928-0.76641515) × cos(-1.38325389) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186444989612892 × 6371000     		do = 113.878319433329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76631928-0.76641515) × cos(-1.38327176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186427432926392 × 6371000     		du = 113.867596023933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38325389)-sin(-1.38327176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186444989612892-0.186427432926392)×R²
    abs(0.76641515-0.76631928)×1.75566864996368e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75566864996368e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75566864996368e-05×40589641000000     		ar = 12964.410046941m²