Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40760 / 57506
↖ ↑ ↗
← S 79.337252°
E 43.901367°		 ← 113.02 m → S 79.337252°
E 43.906861°		 →
↑
113.02 m
↓
↑
113.02 m
↓
S 79.338269°
E 43.901367°		 ← 113.01 m →
12 774 m²		 S 79.338269°
E 43.906861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621955871582031 y=0.877479553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621955871582031 × 216)
    floor (0.621955871582031 × 65536)
    floor (40760.5)     		tx = 40760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877479553222656 × 216)
    floor (0.877479553222656 × 65536)
    floor (57506.5)     		ty = 57506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40760 / 57506 ti = "16/40760/57506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40760/57506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40760 ÷ 216
    40760 ÷ 65536     		x = 0.6219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57506 ÷ 216
    57506 ÷ 65536     		y = 0.877471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.75494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.3717260456019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76622340} λ = 0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3717260456019))-π/2
    2×atan(0.0933195134519729)-π/2
    2×0.0930500281724174-π/2
    0.186100056344835-1.57079632675     		φ = -1.38469627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38469627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.337252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40760 KachelY 57506 0.76622340 -1.38469627 43.901367 -79.337252
    Oben rechts KachelX + 1 40761 KachelY 57506 0.76631928 -1.38469627 43.906861 -79.337252
    Unten links KachelX 40760 KachelY + 1 57507 0.76622340 -1.38471401 43.901367 -79.338269
    Unten rechts KachelX + 1 40761 KachelY + 1 57507 0.76631928 -1.38471401 43.906861 -79.338269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38469627--1.38471401) × R
    1.77399999998773e-05 × 6371000     		dl = 113.021539999218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38469627--1.38471401) × R
    1.77399999998773e-05 × 6371000     		dr = 113.021539999218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76622340-0.76631928) × cos(-1.38469627) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185027707712282 × 6371000     		do = 113.024449097111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76622340-0.76631928) × cos(-1.38471401) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185010273994349 × 6371000     		du = 113.013799684711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38469627)-sin(-1.38471401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185027707712282-0.185010273994349)×R²
    abs(0.76631928-0.76622340)×1.74337179320583e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74337179320583e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74337179320583e-05×40589641000000     		ar = 12773.5954884634m²