Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 40760 / 57491
↖ ↑ ↗
← S 79.321995°
E 43.901367°		 ← 113.18 m → S 79.321995°
E 43.906861°		 →
↑
113.21 m
↓
↑
113.21 m
↓
S 79.323014°
E 43.901367°		 ← 113.17 m →
12 813 m²		 S 79.323014°
E 43.906861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621955871582031 y=0.877250671386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621955871582031 × 216)
    floor (0.621955871582031 × 65536)
    floor (40760.5)     		tx = 40760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877250671386719 × 216)
    floor (0.877250671386719 × 65536)
    floor (57491.5)     		ty = 57491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40760 / 57491 ti = "16/40760/57491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40760/57491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40760 ÷ 216
    40760 ÷ 65536     		x = 0.6219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57491 ÷ 216
    57491 ÷ 65536     		y = 0.877243041992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    0.243896484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76622340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877243041992188 × 2 - 1) × π
    -0.754486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3702879386133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76622340} λ = 0.76622340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3702879386133))-π/2
    2×atan(0.0934538134421723)-π/2
    2×0.0931831670491054-π/2
    0.186366334098211-1.57079632675     		φ = -1.38442999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76622340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.901367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38442999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.321995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40760 KachelY 57491 0.76622340 -1.38442999 43.901367 -79.321995
    Oben rechts KachelX + 1 40761 KachelY 57491 0.76631928 -1.38442999 43.906861 -79.321995
    Unten links KachelX 40760 KachelY + 1 57492 0.76622340 -1.38444776 43.901367 -79.323014
    Unten rechts KachelX + 1 40761 KachelY + 1 57492 0.76631928 -1.38444776 43.906861 -79.323014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38442999--1.38444776) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dl = 113.212669999471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38442999--1.38444776) × R
    1.7769999999917e-05 × 6371000     		dr = 113.212669999471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76622340-0.76631928) × cos(-1.38442999) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.18528938337376 × 6371000     		do = 113.184294062205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76622340-0.76631928) × cos(-1.38444776) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.185271921049821 × 6371000     		du = 113.173627175783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38442999)-sin(-1.38444776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18528938337376-0.185271921049821)×R²
    abs(0.76631928-0.76622340)×1.74623239386773e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.74623239386773e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.74623239386773e-05×40589641000000     		ar = 12813.2923198124m²