Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4076 / 4300
↖ ↑ ↗
← N 78.742083°
W135.219726°		 ← 238.50 m → N 78.742083°
W135.208740°		 →
↑
238.53 m
↓
↑
238.53 m
↓
N 78.739938°
W135.219726°		 ← 238.54 m →
56 894 m²		 N 78.739938°
W135.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124404907226562 y=0.131240844726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124404907226562 × 215)
    floor (0.124404907226562 × 32768)
    floor (4076.5)     		tx = 4076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131240844726562 × 215)
    floor (0.131240844726562 × 32768)
    floor (4300.5)     		ty = 4300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4076 / 4300 ti = "15/4076/4300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4076/4300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4076 ÷ 215
    4076 ÷ 32768     		x = 0.1243896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4300 ÷ 215
    4300 ÷ 32768     		y = 0.1312255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1243896484375 × 2 - 1) × π
    -0.751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.36002944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1312255859375 × 2 - 1) × π
    0.737548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.31707798003503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36002944} λ = -2.36002944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31707798003503))-π/2
    2×atan(10.1459841812877)-π/2
    2×1.4725524674707-π/2
    2.9451049349414-1.57079632675     		φ = 1.37430861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36002944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.219726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37430861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.742083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4076 KachelY 4300 -2.36002944 1.37430861 -135.219726 78.742083
    Oben rechts KachelX + 1 4077 KachelY 4300 -2.35983769 1.37430861 -135.208740 78.742083
    Unten links KachelX 4076 KachelY + 1 4301 -2.36002944 1.37427117 -135.219726 78.739938
    Unten rechts KachelX + 1 4077 KachelY + 1 4301 -2.35983769 1.37427117 -135.208740 78.739938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37430861-1.37427117) × R
    3.74399999998332e-05 × 6371000     		dl = 238.530239998937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37430861-1.37427117) × R
    3.74399999998332e-05 × 6371000     		dr = 238.530239998937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36002944--2.35983769) × cos(1.37430861) × R
    0.000191749999999935 × 0.195225841086793 × 6371000     		do = 238.495550085808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36002944--2.35983769) × cos(1.37427117) × R
    0.000191749999999935 × 0.195262560541241 × 6371000     		du = 238.5404080126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37430861)-sin(1.37427117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195225841086793-0.195262560541241)×R²
    abs(-2.35983769--2.36002944)×3.67194544475535e-05×R²
    0.000191749999999935×3.67194544475535e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.67194544475535e-05×40589641000000     		ar = 56893.7507936483m²