Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 40758 / 57428
↖ ↑ ↗
← S 79.257682°
E 43.890381°		 ← 113.85 m → S 79.257682°
E 43.895874°		 →
↑
113.85 m
↓
↑
113.85 m
↓
S 79.258706°
E 43.890381°		 ← 113.84 m →
12 961 m²		 S 79.258706°
E 43.895874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 40758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.621925354003906 y=0.876289367675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.621925354003906 × 216)
    floor (0.621925354003906 × 65536)
    floor (40758.5)     		tx = 40758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876289367675781 × 216)
    floor (0.876289367675781 × 65536)
    floor (57428.5)     		ty = 57428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 40758 / 57428 ti = "16/40758/57428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/40758/57428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 40758 ÷ 216
    40758 ÷ 65536     		x = 0.621917724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57428 ÷ 216
    57428 ÷ 65536     		y = 0.87628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.621917724609375 × 2 - 1) × π
    0.24383544921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.76603166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.7525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36424788926117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76603166} λ = 0.76603166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36424788926117))-π/2
    2×atan(0.0940199872250318)-π/2
    2×0.0937444094017996-π/2
    0.187488818803599-1.57079632675     		φ = -1.38330751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76603166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.890381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38330751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.257682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 40758 KachelY 57428 0.76603166 -1.38330751 43.890381 -79.257682
    Oben rechts KachelX + 1 40759 KachelY 57428 0.76612753 -1.38330751 43.895874 -79.257682
    Unten links KachelX 40758 KachelY + 1 57429 0.76603166 -1.38332538 43.890381 -79.258706
    Unten rechts KachelX + 1 40759 KachelY + 1 57429 0.76612753 -1.38332538 43.895874 -79.258706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38330751--1.38332538) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dl = 113.849769999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38330751--1.38332538) × R
    1.78699999999754e-05 × 6371000     		dr = 113.849769999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76603166-0.76612753) × cos(-1.38330751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186392309550045 × 6371000     		do = 113.846143095219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76603166-0.76612753) × cos(-1.38332538) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186374752684929 × 6371000     		du = 113.835419576727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38330751)-sin(-1.38332538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186392309550045-0.186374752684929)×R²
    abs(0.76612753-0.76603166)×1.75568651155922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75568651155922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75568651155922e-05×40589641000000     		ar = 12960.7467721275m²